[論文レビュー] Dependent dreams: recounting types

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、依存的（NIP）理論における飽和モデル上の完全型の構造を調査し、定義可能集合と無相関列を用いて型を分析するための分解フレームワークを導入する。主な貢献は、$ \lambda = \lambda^{<\lambda}$ のとき、自己同型による同値類ごとの完全型の数が $ \lambda$ で有界であることを証明することであり、安定性スケーラム結果を依存的理論へ一般化する。

ABSTRACT

We investigate the class of models of a general dependent theory. We continue math.LO/0702292 in particular investigating so called "decomposition of types"; thesis is that what holds for stable theory and for Th(Q, 2^{|T|} then is indiscernible for some stationary S subseteq kappa. Third, for stable T,a model is kappa-saturated iff it is aleph_epsilon-saturated and every infinite indiscernible set (of elements) of cardinality &lt; kappa can be increased. We prove here an analog. Fourth, for p in S(M), the number of ultrafilters on the outside definable subsets of M extending p has an absolute bound 2^{|T|} . Restricting ourselves to one phi(x, y), the number is finite, with an absolute found (well depending on T and phi).

研究の動機と目的

• 安定理論的手法（型の数え上げ、無相関列など）を、依存的（NIP）理論へ拡張すること。
• 定義可能集合と自己同型の軌道に基づく分解フレームワークを導入し、飽和モデル上の完全型の構造を理解すること。
• 安定理論的特徴づけ（例：飽和化基準など）の類似物を依存的理論に確立すること。
• 弱い大基数公理の下で、一般化されたペア予想を証明すること。
• 自己同型による同値類ごとの型のスケーラムを分析し、依存的理論において $\lambda = \lambda^{<\lambda}$ のとき、その数が $\lambda$ で有界であることを示すこと。

提案手法

• 型を定義可能かつ均一な成分に分解するためのクラス $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$, $\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$, $\mathsf{vK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$, および $\mathsf{rK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ を導入する。
• $M_{[\mathbb{x}]}$ の $\kappa$-列均一性を用いて、$\mathsf{tK}$ および $\mathsf{vK}$ における分解の一意性および安定性に類似した性質を導出する。
• 極性付き分割定理を適用し、依存的理論における無相関集合の役割を模倣することで、完全な無相関定理の必要性を回避する。
• 再帰的構成法により、列 $\bar{b}_{n,0}, \bar{b}_{n,1}$ と超フィルター $\mathscr{D}_n$ を構成し、大基数公理の下で $\mathsf{tK}$ および $\mathsf{vK}$ の整合性と密度を証明する。
• $\mathsf{ntr}(\mathbb{x})$ を定義し、分解における可解性の失敗を測定することで、密度証明を支援する。
• $B^{+}_{\mathbb{x}}$-集合と滑らかさの概念を用いて、特に $\mathbb{x} \in \mathsf{pK}$ かつ $\mathbb{x} \in \mathsf{tK}$ または $\mathsf{vK}$ の場合に、依存的理論における安定的挙動を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 依存的理論において、自己同型による同値類ごとの完全型のスケーラムは何か？ また、安定理論や $\mathrm{Th}(\mathbb{Q},<)$ 理論と比べてどう異なるか？
• RQ2 定義可能分解を用いて、無相関列の概念を依存的理論へ一般化できるか？ そのような列が満たす構造的性質は何か？
• RQ3 $\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ が $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ に $\leq_1$-密である条件は何か？ そしてこれは型の数え上げとどのように関係するか？
• RQ4 強い大基数公理を仮定せずに、一般化されたペア予想をどの程度まで依存的理論で証明できるか？
• RQ5 定義可能集合とその方向性（有界／中程度／大）は、依存的理論における型の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 依存的理論 $T$ に対して、$\lambda = \lambda^{<\lambda}$ かつ $M$ がサイズ $\lambda$ の飽和モデルであるとき、$M$ 上の完全型の数（自己同型による同値類ごと）は高々 $\lambda$ であり、$\lambda = \aleph_\alpha$ のとき $|\alpha|^{|T|}$ で有界である。
• $\kappa = \mu_2 = \mu_1 = \mu_0$ が弱いコンパクト基数であるとき、$\mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ は $\mathsf{pK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ に $\leq_1$-密である。
• $\kappa = \mu^+$、$\mu$ が正則でない強限界で、$\operatorname{cof}(\mu) > \theta$、$T$ が可算であるとき、ZFC において $\mathsf{tK}_{\kappa,\kappa,\theta}$ は $\mathsf{pK}_{\kappa,\kappa,\theta}$ に密である。
• 飽和モデル $M$ 上の任意の完全型 $p \in \mathbb{S}(M)$ は、$M$ 内部の長さ $\|M\|$ の無相関列の平均として表せる。
• 一般化されたペア予想は、$\kappa = \kappa^{<\kappa} > |T| + \beth_\omega$ のとき証明され、以前の結果をより広いクラスの基数へ拡張する。
• $\mathbb{x} \in \mathsf{tK}_{\kappa,\bar{\mu},\theta}$ のとき、構造 $M_{[\mathbb{x}]}$ は $\kappa$-列均一であるため、特定の型実現の一意性が保証され、構造的制御が可能になる。