[論文レビュー] Dependent Randomized Rounding for Matroid Polytopes and Applications

Chandra Chekuri, J. Vondrák+1 more|ArXiv.org|Sep 24, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、マトロイドポリトープにおける新しい従属ラウンドリング手法として、確率的スワップラウンドを導入し、線形関数に対して強いチェルノフ型集中不等式、単調なサブモジュラ関数に対して指数的下側尾部不等式を達成する。これにより、マトロイドおよび $k$ 個の線形制約の下で単調なサブモジュラ関数を最大化する問題に対して $(1-1/e - \varepsilon)$-近似が可能となり、制約がゆるい場合でさえ、$k$ が定数でない場合でも適用可能である。また、連続的グリーディアルゴリズムが、パレート集合の保証を伴う多目的サブモジュラ最大化へと拡張可能である。

ABSTRACT

Motivated by several applications, we consider the problem of randomly rounding a fractional solution in a matroid (base) polytope to an integral one. We consider the pipage rounding technique and also present a new technique, randomized swap rounding. Our main technical results are concentration bounds for functions of random variables arising from these rounding techniques. We prove Chernoff-type concentration bounds for linear functions of random variables arising from both techniques, and also a lower-tail exponential bound for monotone submodular functions of variables arising from randomized swap rounding. The following are examples of our applications: (1) We give a (1-1/e-epsilon)-approximation algorithm for the problem of maximizing a monotone submodular function subject to 1 matroid and k linear constraints, for any constant k and epsilon>0. (2) We present a result on minimax packing problems that involve a matroid base constraint. We give an O(log m / log log m)-approximation for the general problem Min {lambda: x \in {0,1}^N, x \in B(M), Ax <= lambda b}, where m is the number of packing constraints. (3) We generalize the continuous greedy algorithm to problems involving multiple submodular functions, and use it to find a (1-1/e-epsilon)-approximate pareto set for the problem of maximizing a constant number of monotone submodular functions subject to a matroid constraint. An example is the Submodular Welfare Problem where we are looking for an approximate pareto set with respect to individual players' utilities.

研究の動機と目的

• マトロイドポリトープ上でのサブモジュラ関数に対して集中性を保つ新しい従属ラウンドリング手法—確率的スワップラウンド—の開発を目的とする。
• 制約のため独立ラウンドが失敗する際、マトロイドポリトープ内の分数解のラウンドングの課題に対処すること。
• 単一の目的関数にとどまらず、マトロイド制約下での複数の単調サブモジュラ関数の最適化に向けた近似アルゴリズムを拡張すること。
• 従属確率変数の集中不等式を用いて、非線形目的関数と複数の制約を扱う一般化された枠組みを提供すること。
• 定数または緩い線形制約を伴う問題に対して $(1-1/e - \varepsilon)$-近似を達成すること、および多目的サブモジュラ最適化の近似パレート集合を計算すること。

提案手法

• マトロイドポリトープ内の点に対して、パイページラウンドの置き換えまたは補完として、確率的スワップラウンドを新しい従属ラウンドリング技術として提案する。
• 確率的スワップラウンドによって生成される確率変数の線形関数について、チェルノフ型集中不等式を確立する。
• 単調サブモジュラ関数に対して、確率的スワップラウンドの下で指数的下側尾部不等式を証明し、最適解からの逸脱確率的保証を可能にする。
• 連続的グリーディアルゴリズムを、多重線形拡張と線形プログラミングによる方向探索を用いて、複数の単調サブモジュラ関数を同時に処理できるように変更する。
• まず分数緩和問題を解き、その後確率的スワップラウンドでラウンドすることで、マトロイドおよび $k$ 個の線形制約の下で単調サブモジュラ関数を最大化する。
• マージナル寄与度を低減するために推定ステップを用い、集中不等式と和集合不等式を組み合わせて、高確率での近似保証を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイドポリトープ上での線形関数およびサブモジュラ関数の両方に対して強い集中不等式を提供する新しい従属ラウンドリング手法を設計可能か？
• RQ2 従属ラウンドリングを用いて、マトロイドおよび定数個の線形制約の下で単調サブモジュラ関数を最大化する際、達成可能な近似保証は何か？
• RQ3 連続的グリーディアルゴリズムは、マトロイド制約下で複数の単調サブモジュラ目的関数を処理できるように一般化可能か？その際、近似パレート集合が得られるか？
• RQ4 サブモジュラ最適化の文脈で、確率的スワップラウンドはパイページラウンドと比較して、集中性および近似品質の点で優れているか？
• RQ5 線形制約数 $k$ が定数でない場合に、$(1-1/e - \varepsilon)$-近似が可能となるための制約行列の条件は何か？

主な発見

• 任意の定数 $k \geq 1$ および $\varepsilon > 0$ に対して、1つのマトロイドおよび $k$ 個の線形制約の下で単調サブモジュラ関数を最大化する問題に対して、$(1-1/e - \varepsilon)$-近似アルゴリズムが達成された。
• 右辺が行列の要素よりも $\Omega(\varepsilon^{-2}\log k)$ 因子分大きい場合、$k$ 個の線形制約に対しても同じ近似比が得られ、$k$ が定数でない場合でも適用可能である。
• マトロイド基底制約および $m$ 個のパッキング制約を伴うミニマックスパッキング問題に対して、$O(\log m / \log \log m)$-近似が提供された。
• マトロイド制約下で定数個の単調サブモジュラ関数を最大化する問題に対して、$(1-1/e - \varepsilon)$-近似パレート集合が計算可能であり、多目的サブモジュラウェルフェア問題が解決された。
• 確率的スワップラウンドは、単調サブモジュラ関数に対して指数的下側尾部不等式を達成し、強い確率的集中保証を可能にする。
• この手法により、制約が満たされない場合の不可能性証明を伴う形で、多目的サブモジュラ最大化の一般化された連続的グリーディアルゴリズムの適用が可能になった。