[論文レビュー] Dephasing and the steady state in quantum many-particle systems

Thomas Barthel, Ulrich Schollw ock|RWTH Publications (RWTH Aachen)|Nov 30, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可解な量子多体系において、有限な部分系が位相ずれ（dephasing）を経て非正準的状態に緩和することを解析的に確立している。その状態は、保存量の固有基底における密度行列が対角化された形で特徴づけられる。主な結果は、有限部分系の縮約密度行列が一般化ギブス集合に近づくことの厳密な導出であり、エンタングルメントエントロピーが広義に拡張されることを示しており、強いエンタングルメントを制御的に生成可能である。

ABSTRACT

We discuss relaxation in bosonic and fermionic many-particle systems. For integrable systems, the time evolution can cause a dephasing effect, leading for finite subsystems to certain steady states. We give an explicit derivation of those steady subsystem states and devise sufficient prerequisites for the dephasing to take place. We also find simple scenarios, in which dephasing is ineffective and discuss the dependence on dimensionality and criticality. It follows further that, after a quench of system parameters, bipartite entanglement entropy will become extensive. This provides a way of creating strong entanglement in a controlled fashion.

研究の動機と目的

• 可解な量子多体系がクエンチ後に定常状態に緩和するかどうかという長年の問いに答えること、特に熱化が失敗する場合に焦点を当てる。
• 有限部分系において位相ずれが緩和を引き起こす条件を明確にし、全系の均衡と区別すること。
• 有限部分系の定常状態密度行列を厳密に導出し、それが一般化ギブス集合に対応することを示すこと。
• 部分系のサイズと位相ずれの有効性の役割を特定することで、先行する予想（例：Rigol et al.）と反例（例：Gangardt et al.）の不一致を解明すること。
• クエンチ後に二部エンタングルメントエントロピーが広義に拡張されることを示し、量子シミュレーションやエンタングルメント資源生成へのインパクトを強調すること。

提案手法

• 線形正準変換を用いて二次ハミルトニアンを解析し、エネルギーεkを持つ単粒子モードに対角化する。
• Wickの定理を用いて、ガウス状態が1粒子グリーン関数によって完全に特徴づけられることを示し、問題をG行列の時間発展の追跡に還元する。
• 重要な定理を証明：長時間極限において、有限部分系Ωの縮約密度行列は、初期グリーン関数の固有基底における対角部Gdによって定義される状態に収束する。
• 位相ずれのメカニズムは、非対角行列要素の位相振動によって定量的に評価され、位相勾配∂kφが非ゼロでかつ振幅が有限である場合に緩和が発生する。
• 離散的保存演算子を連続的関数τ(λ)に置き換えることで、Bethe Ansatzで解けるモデルへ一般化し、一般化ギブス集合の連続的積分形を導出する。
• 先行研究の運動量分布および相関関数との比較により、数値的整合性を確認し、特定の設定で緩和しない振動の原因を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解な量子多体系の有限部分系において、どのような条件下で位相ずれが定常状態に至るか？
• RQ2 Rigol et al. と Gangardt et al. の間で矛盾する結果が得られるのはなぜか？特に、一部の物理量は一般化ギブス集合に緩和するが、他の物理量はそうでない場合がある。
• RQ3 有効な位相ずれ率は、系の次元、臨界性、初期状態の構造にどのように依存するか？
• RQ4 部分系サイズが環境に対して果たす役割は、縮約密度行列に対する一般化ギブス集合の有効性を決定づけるか？
• RQ5 可解系におけるクエンチダイナミクスを用いて、広義に拡張されたエンタングルメントを生成可能か？その量子シミュレーションへのインパクトは？

主な発見

• 可解系における有限部分系Ωの定常状態縮約密度行列は、TrΩ⊥ρdで与えられ、ここでρdはハミルトニアンの固有基底における初期グリーン関数を対角化した状態である。
• 初期状態のグリーン関数が固有基底において顕著な非対角構造を持つ場合、特に位相勾配∂kφがゼロまたは振幅fが発散する場合、位相ずれは効果を示さない。
• フェルミ表面を有する一次元系では、非対角行列要素の緩和が遅いため、位相ずれは効果を示さず、これにより先行実験で観測された運動量分布の非緩和が説明できる。
• クエンチ後に、有限部分系の二部エンタングルメントエントロピーは、部分系の体積に比例して広義に拡張される。これは、一般化ギブス集合の広義に拡張されたエントロピー寄与が支配的になるためである。
• Bethe Ansatz可解モデルにおいて、一般化ギブス集合ρd = Z⁻¹ exp(−∫dλ ρ(λ)αλτ(λ))が熱力学的極限で正しい定常状態であることが示され、自由フェルミオンの結果が一般化された。
• 一部の物理量（例：運動量分布）が位相ずれが無効であっても緩和する理由は、平均化効果や特定の対称性に起因し、これにより文献における表面的矛盾が解消される。