[論文レビュー] Depth and the local Langlands correspondence

Paul Baum, Anne‐Marie Aubert+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非アルキメデス的局域体上のGL_n(F)およびSL_n(F)の内部形式について、局所Langlands対応が深さを保存することを証明する。Moy–Prasadの深さフィルトレーションとGalois群の分岐部分群を用いて、Langlandsパラメータの深さがそれに対応する表現の深さと一致することを確立し、特に残差標数がnを割り切らない場合、本質的に分岐的（essentially tame）な条件下で等号が成り立つことを示す。

ABSTRACT

Let G be an inner form of a general linear group over a non-archimedean local field. We prove that the local Langlands correspondence for G preserves depths. We also show that the local Langlands correspondence for inner forms of special linear groups preserves the depths of essentially tame Langlands parameters.

研究の動機と目的

• GL_n(F)の内部形式について、既知の結果を非分裂群へ拡張し、局所Langlands対応が深さを保存することを確立すること。
• 特に本質的に分岐的Langlandsパラメータの下で、SL_n(F)の内部形式について深さの等号が成り立つかどうかを調査すること。
• Moy–Prasadの表現の深さとGaloisパラメータの分岐フィルトレーションとの関係を明確化すること。
• 特に小さな残差標数における正の深さのケースについて、深さ保存に関する未解決問題を解消すること。
• Galois側の深さフィルトレーションと表現論的側のフィルトレーションを一致させるための枠組みを提供すること。

提案手法

• Langlandsパラメータφの深さを、すべてのr > d(φ)についてGal(F_s/F)^rにφが消えるような最小のd(φ) ≥ 0として定義する。
• パラホリック部分群のMoy–PrasadフィルトレーションP_x,rを用いて、滑らかで非可約な表現πの深さd(π)を定義する。
• Jacquet–Langlands対応を用いて、GL_m(D)の表現とGL_n(F)の表現との間の深さ保存を関係づける。
• Galois群Gal(F_s/F)における分岐部分群の上位および下位番号付けと、その部分群との整合性を用いる。
• Artinの再帰性とノルム写像を用いて、E×からF×への字を上げ、深さの増加を矛盾させるためのねじれ議論を可能にする。
• Weil群への表現の誘導と制限を用いて、可約なケースを分析し、成分間での核の比較を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_n(F)の内部形式について、局所Langlands対応は深さを保存するか。特に四元数代数の変種を含むか。
• RQ2 SL_n(F)の内部形式について、Langlandsパラメータとそれに対応する表現との間で深さが等しくなるか。
• RQ3 残差標数がnを割り切る場合、特に本質的に分岐的ケースにおいて、どのような条件下で深さ保存が保証されるか。
• RQ4 Jacquet–Langlands対応を用いて、非分裂群において深さ保存を確立できるか。
• RQ5 Galois側の分岐フィルトレーションと、表現側のMoy–Prasadフィルトレーションとの関係は何か。

主な発見

• GL_n(F)のすべての内部形式について、局所Langlands対応は深さを保存する。四元数代数上のものも含む。
• SL_n(F)の内部形式について、Langlandsパラメータが本質的に分岐的である限り、深さの等号が成り立つ。すなわち、野生的正則部分群がPGL_n(C)内の最大トーラスへ写像する場合。
• Fの残差標数がnを割り切らない場合、SL_n(F)の内部形式のすべてのLanglandsパラメータは本質的に分岐的であり、深さ保存が保証される。
• 制限φ̄|_W_Fが非可約である限り、Langlandsパラメータφの深さは、GL_n(F)への上昇φ̄の深さと等しい。
• 一般に本質的に分岐的ケースでは、パラメータφの深さはその非可約成分の深さの最大値に等しく、いかなるねじれもそのパラメータの深さ以下に深さを低下させない。
• 深さの増加を仮定した背理法により証明がなされ、文字の上昇とノルム写像を用いて、任意の仮定された深さ増加が、上昇の最小性と矛盾することを示している。