[論文レビュー] Depth with respect to a family of convex sets

Leonardo Martínez-Sandoval, Roee Tamam|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2016

Numerical Methods and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Rdにおける有限個の凸集合族Fに関する新しい深さの概念depFを導入し、Tukey深さを一般化する。幾何的深さと組合せ的被覆集合問題との間に双対性を確立し、αd,k + βd+1,k = 1が成り立つことを証明する。ここでαd,kは保証される最小深さ、βm,kは被覆集合の閾値である。これにより、kがdに近い場合のタイトな境界が得られ、分数的横断線と中心点理論における新たな結果が得られる。

ABSTRACT

We propose a notion of depth with respect to a finite family $\mathcal{F}$ of convex sets in $\mathbb{R}^d$ which we call $ ext{dep}_\mathcal{F}$. We begin showing that $ ext{dep}_\mathcal{F}$ satisfies some expected properties for a measure of depth and that this definition is closely related to the notion of depth proposed by J. Tukey. We show that some properties of Tukey depth extend to $ ext{dep}_\mathcal{F}$ and we point out some key differences. We then focus on the following centerpoint-type question: what is the best depth $\alpha_{d,k}$ that we can guarantee under the hypothesis that the family $\mathcal{F}$ is $k$-intersecting? We show a key connection between this problem and a purely combinatorial problem on hitting sets. The relationship is useful in both directions. On the one hand, for values of $k$ close to $d$ the combinatorial interpretation gives a good bound for $k$. On the other hand, for low values of $k$ we can use the classic Rado's centerpoint theorem to get combinatorial results of independent interest. For intermediate values of $k$ we present a probabilistic framework to improve the bounds and illustrate its use in the case $k\approx d/2$. These results can be though of as an interpolation between Helly's theorem and Rado's centerpoint theorem. As an application of these results we find a Helly-type theorem for fractional hyperplane transversals. We also give an alternative and simpler proof for a transversal result of A. Holmsen.

研究の動機と目的

• Rdにおける有限個の凸集合族Fに関する新しい幾何的深さ測度depFを定義し、その性質を調べること。
• 幾何的深さパラメータαd,kと組合せ的被覆集合パラメータβm,kとの間の双対性を確立すること。
• k-交差する凸集合族に対して保証される深さαd,kの改善された境界を導出すること。
• 理論を応用して、分数的超平面横断線に関する新しいヘリの型定理を証明し、Holmsenの直線横断線に関する結果を再証明すること。

提案手法

• 点pを含む任意の閉半空間がFに属する集合を最小でいくつ交差するかによって、depF(p)を定義する。
• depF ≥ r を満たす点の集合Cr(F)（r-中心）が凸であることを証明し、Tukey深さの性質を一般化する。
• 鍵となる双対性を確立：αd,k + βd+1,k = 1。幾何的深さを組合せ的被覆集合パラメータβm,kと結びつける。
• Radoの中心点定理を用いて、固定されたkに対してβm,kの境界を導出し、blemishesを用いた確率的技法を応用して中間的なkの境界を改善する。
• 双対性を応用して、分数的超平面横断線に関する新しいヘリの型定理を証明する。
• Holmsenの結果（k-交差する族で三重凸包条件を満たすものに対して、1/8の集合を横断する直線が存在する）の別証明を簡略化して提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rdにおける任意のk-交差する凸集合族に対して、保証される最小深さαd,kとして得られる最良の値は何か？
• RQ2 幾何的深さパラメータαd,kは、被覆集合を制御する組合せ的パラメータβm,kとどのように関係しているか？
• RQ3 αd,kとβm,kの間の双対性を用いて、幾何学的および組合せ論的両分野で新たな結果を導出できるか？
• RQ4 kがdに近い場合のαd,kのタイトな境界は何か？また、Radoの中心点定理の結果と比較するとどうなるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、分数的超平面横断線などの新しい横断定理を導出できるか？

主な発見

• すべての正の整数dおよびk ∈ [d+1]に対して、双対性αd,k + βd+1,k = 1が厳密に成立する。
• k = dの場合、保証される深さは正確にαd,d = d/(d+1)であり、これはタイトで一般の境界を改善する。
• 固定されたkに対して、被覆集合パラメータはβm,k = 1 − Ω(1/(k√m))を満たし、m → ∞のとき漸近的にタイトである。
• m = 2kの場合、境界はβ2k,k ≤ 1 − 1/(k√15)に改善され、したがってα2k−1,k ≥ 1/(k√15)が得られる。
• この枠組みにより、ヘリの型定理が得られる：Fがk-交差するならば、任意の超平面がその点を通るとき、少なくともΩ(|F|/(k√d+1))個の集合を横断する点が存在する。
• Holmsenの結果（三重凸包条件を満たすk-交差する族は、1/8の集合を横断する直線を持つ）について、別証明を簡略化して提示する。