[論文レビュー] Derandomizing the Lovasz Local Lemma more effectively

Robin A. Moser|ArXiv.org|Jul 14, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、変数の出現回数が制限されたk-CNF式を解くための新しい無作為化除去アルゴリズムを提示し、変数1つあたりO(2^{k/2}/k)回の出現という著しく改善された閾値を達成した。新しい密度の高いウェルダー木構造を導入し、従来の2,3木フレームワークへの依存を排除することで、これまでに不可能であったより広いクラスの充足可能式を効率的に決定的解決可能にした。これは、ロヴァーシュの局所的補題の無作為化除去における長年のギャップを埋めたものである。

ABSTRACT

The famous Lovasz Local Lemma [EL75] is a powerful tool to non-constructively prove the existence of combinatorial objects meeting a prescribed collection of criteria. Kratochvil et al. applied this technique to prove that a k-CNF in which each variable appears at most 2^k/(ek) times is always satisfiable [KST93]. In a breakthrough paper, Beck found that if we lower the occurrences to O(2^(k/48)/k), then a deterministic polynomial-time algorithm can find a satisfying assignment to such an instance [Bec91]. Alon randomized the algorithm and required O(2^(k/8)/k) occurrences [Alo91]. In [Mos06], we exhibited a refinement of his method which copes with O(2^(k/6)/k) of them. The hitherto best known randomized algorithm is due to Srinivasan and is capable of solving O(2^(k/4)/k) occurrence instances [Sri08]. Answering two questions asked by Srinivasan, we shall now present an approach that tolerates O(2^(k/2)/k) occurrences per variable and which can most easily be derandomized. The new algorithm bases on an alternative type of witness tree structure and drops a number of limiting aspects common to all previous methods.

研究の動機と目的

• ロヴァーシュの局所的補題が保証する存在閾値と、k-CNF式に対するアルゴリズム的充足可能性閾値の間のギャップを埋めること。
• 従来の2,3木ウェルダー構造に基づく無作為化除去技術の制限を克服すること。
• より高い変数出現回数の上限を有するk-CNFインスタンスを解ける決定的多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• ウェルダー木をアルゴリズム的意思決定プロセスの中心に置くことで、節を「悪い」「危険な」「安全な」に分類する必要をなくすこと。
• 変数1つあたりO(2^{k/2}/k)回の出現が、効率的な無作為化除去充足可能性に十分であることを示すこと。

提案手法

• 従来の2,3木フレームワークに代わる、新しい密度の高いウェルダー木構造を導入する。
• 依存グラフの連結成分から合成ウェルダーを構築し、最小かつ構造的に整合性のある表現を保証する。
• 節の辞書式順序を用いて新しいリテラルを定義し、各合成ウェルダーWに対してDφ(W)を構築する。
• 確率的解析を用いて、サイズがlog(2m)から(k+1)log(2m)の間のウェルダーの公式ψが、期待値として1未満の未充足節を持つことを示す。
• 公式ψを多項式時間で決定的に解くことでプロセスを無作為化除去し、充足割り当て下で大きな合成ウェルダーが存在しないことを保証する。
• 大きなウェルダーが存在しないことを前提に、対応する残差成分に対して決定的局所探索を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロヴァーシュの局所的補題の無作為化除去は、O(2^{k/4}/k)回を超える変数出現回数を有するk-CNF式に対しても拡張可能か？
• RQ2 2,3木ウェルダー構造への依存を排除し、より密度の高く効率的な構造に置き換えることは可能か？
• RQ3 アルゴリズム的プロセスから「悪い」「危険な」「安全な」節の区別を完全に排除することは可能か？
• RQ4 変数1つあたりO(2^{k/2}/k)回の出現を有するk-CNF式に対して、決定的多項式時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 ウェルダー木の構築をアルゴリズム自体の一部にすることが可能か、それとも単なる確率的解析のための道具にとどまるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、各変数が2^{k/2}/(36k)回未満の頻度で出現する任意のk-CNF式を、期待多項式時間で解くことができる。
• 従来のランダム化アルゴリズムの最良の閾値O(2^{k/4}/k)と比較して、O(2^{k/2}/k)というより明確な出現回数閾値を達成した。
• サイズがlog(2m)から(k+1)log(2m)の間の合成ウェルダーから構成される公式ψの充足割り当てを多項式時間で見つけられ、これにより大きなウェルダーが存在しないことが保証される。
• 公式ψにおける未充足節の期待値が1未満であることを示し、確率的手法によりその充足可能性を証明した。
• ψを解いた後、残差成分は常に対数的サイズに保証され、効率的な決定的解決が可能である。
• 新しいウェルダー木構造により、節の分類の必要がなくなり、より洗練され、より強固な無作為化除去プロセスが実現された。