[論文レビュー] Derivation of a two-phase flow model with two-scale kinematics, geometric variables and surface tension using variational calculus

Pierre Cordesse, Samuel Kokh+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

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ひとこと要約

本稿では、変分法を用いて、大規模な界面動態と小規模な運動論的および表面張力効果を、体積分率、界面面積密度、平均曲率といった幾何変数を通じて捉える、新規な二相流モデルを導出する。二尺度の表面張力と非球形で多分散な気泡を含めるために、最小作用の原理を拡張することで、球対称性を仮定しない、一貫性のある幾何学的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The present paper proposes a two-phase flow model that is able to account for two-scale kinematics and two-scale surface tension effects based on geometric variables at small scale. At large scale, the flow and the full geometry of the interface may be retrieved thanks to the bulk variables, while at small scale the interface is accurately described by volume fraction, interfacial area density and mean curvature, called the geometric variables. Our work mainly relies on the Least Action Principle. The resulting system is an extension of a previous work modeling small scale pulsation in which surface tension was not taken into account at large or small scale. Whereas the original derivation assumes a cloud of monodispersed spherical bubbles, the present context allows for polydispersed, non-spherical bubbles. The resulting system of equations solely involves small scale geometric variables, thus contributing in the construction of a unified model describing both large and small scales.

研究の動機と目的

• 大規模な界面動態と小規模な幾何的効果を両方とも捉える統一的なEuler形式の二相流モデルの構築を目的とする。
• 従来のモデルを拡張し、小規模だけでなく大規模にも表面張力効果を組み込むこと。
• 単分散球形気泡を仮定するのではなく、多分散で非球形な気泡を扱うこと。
• 体積分率、界面面積密度、平均曲率といった幾何変数のみを小規模記述子として用い、二尺度系の閉じた記述を可能とすること。
• 最小作用の原理を用いて一貫性のある運動方程式系を導出し、熱力学的整合性および保存則を保証すること。

提案手法

• 大規模および小規模の両スケールにおける運動エネルギー、内部エネルギー、表面エネルギー寄与を含むラグランジアンエネルギー関数を定式化する。
• 作用関数の状態変数およびその空間的・時間的微分に関する変分を用いて、最小作用の原理を適用し、支配方程式である偏微分方程式を導出する。
• Weylのチューブ公式を用い、球形に微分同相な気相インクルージョンの小規模幾何学的構造を界面面積密度および平均曲率に関連付ける。
• 大規模な界面位置は体積分率勾配によって記述され、小規模な界面特性はΣ（界面面積密度）およびH（平均曲率）によって記述される二尺度パラメータ化を導入する。
• 体積分率α、Σ、およびh（法線方向変位）の時間発展に関する制約を課し、界面運動論と整合性を保つ。
• 流れマップおよび幾何変数に関する作用の変分を計算することで、運動方程式を導出し、運動量、質量、幾何学的発展方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二相流系において、表面張力効果を大規模および小規模の両スケールで一貫してモデル化する方法は何か？
• RQ2 多分散で非球形な泡を含む小規模な界面形状を記述するために、必要な最小限の幾何変数は何か？
• RQ3 最小作用の原理を、二尺度の運動論的および毛細管効果を含む変分枠組みにどのように拡張できるか？
• RQ4 小規模な界面記述において、体積分率、界面面積密度、平均曲率の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 球対称性を仮定しない状況でも、大規模な界面運動と小規模な脈動効果（表面張力を含む）を一つの統一モデルで記述できるか？

主な発見

• 導出されたモデルは、小規模幾何変数（体積分率、界面面積密度、平均曲率）のみを用いて、大規模および小規模の両スケールで表面張力効果を一貫して捉える最初のモデルである。
• 従来の単分散球形気泡を仮定するモデルからの拡張により、多分散で非球形な気泡の記述が可能となった。
• 運動方程式は最小作用の原理を用いて導出されており、熱力学的整合性および質量、運動量、エネルギーの保存則が保証されている。
• Weylのチューブ公式から導かれた幾何学的制約を通じて、界面面積密度Σ、平均曲率H、体積分率αの関係が保持されている。
• 小規模スケールの幾何変数のみに依存する閉じた方程式系が得られ、スケールをまたがる二相流の統一的記述が可能となった。
• 本研究の導出は、大規模な界面変形と小規模な毛細管効果が重要なスプレー形成や原子化などの複雑な二相流モデルの今後の変分的基盤を確立した。