[論文レビュー] Derivation of Darcy's law in randomly punctured domains

Arianna Giunti|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中心と半径が確率的に分布する球状の穴が無作為に配置された3次元領域において、ストークス方程式およびポアソン方程式に対してダルシーの法則を導出する。穴の半径に最小限の積率条件を課した場合、穴のサイズが $\varepsilon^\alpha$（$\alpha \in (1,3)$）に比例するホモジゼーション極限において、穴が凝集したり重複しても問題が適切に定義され、解がダルシーの法則に収束することを証明する。

ABSTRACT

We consider the homogenization of a Poisson problem or a Stokes system in a randomly punctured domain with Dirichlet boundary conditions. We assume that the holes are spherical and have random centres and radii. We impose that the average distance between the balls is of size $\eps$ and their average radius is $\varepsilon^α$, $α\in (1; 3)$. We prove that, as in the periodic case [G. Allaire, ``Homogenization of the Navier-Stokes equations in domains perforated with tiny holes. II''], the solutions converge to the solution of Darcy's law (or its scalar analogue in the case of Poisson). In the same spirit of [A. Giunti, R. Höfer and J. Velázquez, ``Homogenization of the Poisson equation in randomly perforated domains under minimal assumptions on the size of the holes''], we work under minimal conditions on the integrability of the random radii. These ensure that the problem is well-defined but do not rule out the onset of clusters of holes.

研究の動機と目的

• 無作為に分布する球状の穴によって穿孔された有界領域におけるストークス方程式およびポアソン方程式のホモジゼーション極限を確立すること。
• 平均的な穴の半径が $\varepsilon^\alpha$（$\alpha \in (1,3)$）に比例する場合の有効なマクロスコピックな挙動を分析すること。これは、発散する調和的またはストークス的容量密度に対応する。
• 最小限の積率仮定のもとで、最小間隔の要件なしに、解がダルシーの法則（またはそのスカラー版）に収束することを証明すること。
• 穴が重複したり凝集したりする場合でも、$\varepsilon$ が十分に小さいとき問題がほとんど確実に適切に定義されることを保証すること。
• 周期的穿孔領域からの先行結果を無作為穿孔領域へ拡張し、穴の中心にポアソン点過程を用いる確率的・確率的ホモジゼーション技法を用いること。

提案手法

• 穿孔領域 $D^\varepsilon = D \setminus H^\varepsilon$ を構築し、$H^\varepsilon$ は強度 $\lambda$ のポアソン点過程 $\Phi$ に従う中心を持つ球の合併集合であり、半径は $\varepsilon^\alpha \rho_z$ である。
• 穴の境界上でディリクレ境界条件を課し、滑らかでない境界や境界上での解の消失をモデル化する。
• 穴の凝集を制御するため、$\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$ および $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$（$\beta > 0$）というモーメント条件を課す。
• ボレル＝カンテーリの補題およびチェイング推定を用いた確率的ホモジゼーション技法を適用し、密度の高い穴のクラスタのようなレアイベントの確率を制御する。
• 外部領域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ で解かれる補正問題を介して、スケーリングされた解がダルシーの法則に収束することを確立し、有効係数は容量の極限から導出される。
• 測度近似補題（補題5.1）を用いて、穴に関連する表面測度の $H^{-1}$-ノルムを制御し、弱い正則性仮定のもとでの収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無作為に穿孔された領域におけるポアソン方程式またはストークス系のホモジゼーションがダルシーの法則に収束するための、確率的半径に必要な最小モーメント条件は何か？
• RQ2 穴が周期的でなく、重複や凝集を伴う場合、有効な挙動はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 スケーリング $\varepsilon^\alpha$（$\alpha \in (1,3)$）が収束速度および有効方程式の性質に与える影響は何か？
• RQ4 調和的およびストークス的容量が、無作為な設定におけるマクロスコピックな挙動を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 穴が無作為に分布する場合、周期的セルではなく外部領域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ で補正問題を定式化できるか？

主な発見

• $\alpha \in (1,3)$ のとき、$D^\varepsilon$ におけるポアソンおよびストークス問題の解は、$\varepsilon^{-3+\alpha}$ でスケーリングされた後、ダルシーの法則またはそのスカラー版の解に収束する。
• ダルシーの法則における有効係数 $k$ または $K$ は、周期的セルではなく外部領域 $\mathbb{R}^3 \setminus B_1(0)$ で解かれる補正問題から決定される。
• 最小モーメント条件 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha}] \leq C$ により、穴が重複しても $\varepsilon$ が十分に小さいとき $D^\varepsilon$ がほとんど確実に空でなくなることが保証される。
• 条件 $\mathbb{E}[\rho^{3/\alpha + \beta}] \leq C$（$\beta > 0$）はストークス系に対して十分であり、ボレル＝カンテーリの補題を用いてクラスタイベントを制御可能である。
• スケール $\varepsilon^{1-k\kappa}$ における重なり連鎖を持つ確率は $\varepsilon^{\alpha\beta/2}$ のオーダーで減少し、ボレル＝カンテーリの補題によりほとんど確実な収束が可能である。
• 穴が凝集したり重複しても、半径のモーメント条件が満たされていれば収束が成立し、周期的設定から無作為設定への先行結果の拡張が達成される。