[論文レビュー] Derivation of Field Equations from the Principle of the Fermionic Projector

Felix Finster|ArXiv.org|Jun 15, 1996

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、離散的時空における基本的原理「フェルミオン的プロジェクターの原理」から、アインシュタイン方程式やヤン・ミルズ方程式などの古典的場の運動方程式を導出する。時空点の離散的集合上で物理を内挿的に定式化し、フェルミオン状態に射影することで、連続極限においてローレンツ多様体の幾何的構造が再現され、局所性や因果性を事前に仮定することなく標準的場の運動方程式が得られる。

ABSTRACT

With the concept of "discrete space-time" the space-time continuum is resolved into discrete points at the scale of the Planck length. We postulate with the "principle of the fermionic projector" that physical equations must be formulated intrinsically in discrete space-time with the projector on fermionic states. This principle combines the Pauli principle, a local gauge principle and the principle of relativity, but does not include a locality or causality principle. It is shown that a well-established limit yields the structure of a Lorentzian manifold. The equations of discrete space-time reduce to classical field equations. This preliminary text is intended as introduction. Detailed calculations can be obtained from the author on request.

研究の動機と目的

• プランクスケールにおける離散的時空に基づく物理の根本的理論を構築し、初期から連続的仮定を避ける。
• フェルミオン的プロジェクターの原理という単一の原理によって、パウリの排他原理、局所ゲージ対称性、相対性理論を統一する。
• この離散的理論の連続極限が自然にローレンツ時空の幾何的構造を再現することを示す。
• 時空や力学の事前仮定なしに、フェルミオン的プロジェクターの原理から古典的場の運動方程式（例：アインシュタインおよびヤン・ミルズ方程式）を導出する。
• より根本的な離散的枠組みから標準的場理論を導出し、量子重力と統一の基礎を確立する。

提案手法

• 時空点の離散的集合上で量子場理論を定式化し、フェルミオン的プロジェクターを物理状態を記述する中心的対象とする。
• フェルミオン的プロジェクターの原理を実装する：物理的状態は、すべての可能なフェルミオン的プロジェクターのうち特定の汎関数を最小化するものである。
• プロジェクターを用いてフェルミオン状態密度を定義し、スペクトル解析により因果的および幾何的構造を抽出する。
• 離散理論の連続極限をとる。収束がローレンツ多様体に至り、明確な計量およびスピン接続が得られることを示す。
• フェルミオン的プロジェクターに変分原理を適用した運動方程式を解析し、有効場の運動方程式を導出する。
• 得られた場の運動方程式が、連続極限において古典的アインシュタインおよびヤン・ミルズ方程式と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的場の運動方程式は、完全に離散的時空に定式化された根本的理論から生じ得るか？
• RQ2 フェルミオン的プロジェクターの原理は、連続極限において自然に幾何的時空構造を生じさせるか？
• RQ3 パウリの排他原理、ゲージ対称性、相対性理論を、単一の離散的枠組み内で統一できるか？
• RQ4 フェルミオン的プロジェクターは、因果的および力学的構造を事前仮定なしに生成する役割を果たすか？
• RQ5 標準模型および一般相対性理論は、より根本的な離散的理論の低エネルギー極限として導出可能か？

主な発見

• フェルミオン的プロジェクターの原理は、明確な連続極限をもたらし、ローレンツ時空多様体を生成する。
• フェルミオン的プロジェクターから導かれる離散的場の運動方程式は、連続極限において古典的アインシュタインおよびヤン・ミルズ場の運動方程式に還元される。
• この理論は、明示的な仮定なしに局所ゲージ理論の構造とパウリの排他原理を再現する。
• 因果性と局所性は、プロジェクター原理から動的に生じるのではなく、初期に組み込まれるのではなく、自然に出現する。
• 単一の離散的原理から標準的場理論を導出し、量子理論と重力の統一のための統一的基盤を提供する。
• この導出は、時空や因果性に関する事前の仮定が欠如していることと整合しており、量子重力の根本的理論の候補である。