[論文レビュー] Derivation of Lüscher's finite size formula for $Nπ$ and $NN$ system

N. Ishizuka|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非相対論的有効場理論に依存せずに、相対論的量子場理論を用いて、弾性 $N\pi$ および $NN$ 散乱系に対する L"uscher の有限サイズ公式を導出する。この研究では、核子-核子系におけるスピンおよび角運動量依存性を含む形で、L"uscher の元来の公式を一般化し、散乱位相シフトや $\Delta(1232)$ のような共鳴状態の格子 QCD計算に適した相対論的に整合性のある枠組みを提供する。

ABSTRACT

I present derivation of Lüscher's finite size formula for the elastic $Nπ$ and the $NN$ scattering system for several angular momenta from the relativistic quantum field theory.

研究の動機と目的

• L"uscher の有限サイズ公式を、非相対論的有効場理論に依存しない完全な相対論的枠組みで $NN$ 散乱系に拡張すること。
• 任意のスピンおよび角運動量を含む系に適用可能な一般相対論的導出を提供すること。これには $N\pi$ および $NN$ チャネルが含まれる。
• 格子 QCD シミュレーションから散乱位相シフトや $\Delta(1232)$ のような共鳴状態を計算するための一貫性のある形式的枠組みを確立すること。
• Bernard らの有効理論的手法との一致を示すことにより、既存の非相対論的結果と整合性を保つこと。

提案手法

• 相対論的量子場理論における LSZ 減少公式と非オンシェル散乱振幅を用いて、無限体積における2核子波動関数を導出する。
• 球ベッセル関数およびノイマン関数を含む積分公式を適用し、$|{\bf x}| > R$ における漸近的挙動を抽出する。この際、非オンシェル振幅を $p = k$ におけるオンシェル値に置き換える。
• 散乱振幅を Wigner D 関数および総角運動量 $J$ に関して展開し、波動関数を $J, M, \lambda$ でラベルされた部分波に分解する。
• 部分波成分と格子運動量状態との重なりを用いて、相対論的スピンダー構造を $\hat{L}(\nabla)$ および $\hat{R}(\nabla)$ 演算子を介して組み込んだ、有限サイズ行列 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$ を構築する。
• 無限体積波動関数と格子固有状態条件を一致させることで有限サイズ公式を導出し、行列 $\mathbf{M}$, $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ を含む行列式条件にたどり着く。
• $N\pi$ 系への形式的拡張は、$s = 1/2$ とすることで可能であり、半整数スピン $J$ のための群論的係数を二重被覆立方群 ${}^2O$ を用いて調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L"uscher の有限サイズ公式を、非相対論的近似を一切用いずに、相対論的量子場理論のみを用いて $NN$ 系にどのように導出できるか？
• RQ2 $NN$ 系において、総角運動量 $J$ およびヘリシティ状態に分解された無限体積における散乱波動関数の構造は何か？
• RQ3 相対論的スピンダー構造および Wigner D 関数は、$NN$ 散乱の有限サイズ公式にどのように組み込まれるか？
• RQ4 同じ形式的枠組みを $N\pi$ 系に拡張できるか？また、非相対論的有効理論の結果と比較するとどうなるか？
• RQ5 $NN$ 系におけるさまざまな $J$ および $l$ 部分波に対して、有限サイズ行列 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$ の明示的形は何か？

主な発見

• 有限サイズ公式は、非相対論的力学の仮定を一切用いずに、相対論的量子場理論から導出され、相対論的運動論と整合性を保つ。
• 無限体積における波動関数は、$J, M, \lambda$ でラベルされた部分波の和として表現され、オンシェル散乱振幅および相対論的スピンダー射影係数を含む。
• $J=1,3,4$ の部分波に対して、行列 $\mathbf{M}(\Gamma; k)$ が明示的に構築され、相対論的相互作用カーネルから導かれる $W_{lm}$ 関数を含む成分が含まれる。
• $J=1$, $P=-1$ 状態（ドデュートロンとは逆のパリティ）では、$l=1,3,5$ の部分波からの寄与が含まれ、$W_{40}, W_{60}, W_{80}$ を含む非自明な混合項が存在する。
• 得られた公式は、Bernard らの非相対論的有効理論の結果と整合しており、$NN$ および $N\pi$ 系における相対論的アプローチの妥当性を検証する。
• $s=1/2$ と設定し、半整数スピン $J$ のための群表現を調整することで、形式的枠組みは $N\pi$ 系へ直接拡張可能であり、$N\pi$ 散乱および $\Delta(1232)$ 共鳴状態の格子 QCD 研究を可能にする。