[論文レビュー] Derivation of Lorentz Invariance and Three Space Dimensions in Generic Field Theory

C.D. Froggatt, H. B. Nielsen|ArXiv.org|Nov 7, 2002

International Science and Diplomacy参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、低エネルギー限界において、一般のローレンツ不変でない量子場理論から、ローレンツ不変性と三次元空間が自然に出現することを提案する。フェルミオンおよびボソン場の運動量空間における反対称行列の固有値スペクトルを分析することで、線形化の段階で、独立した運動量成分が三つに減少することを示しており、各粒子種別に正確に三次元空間が予測される。これにより、フェルミオンに対してはウェイル方程式、ボソンに対してはマクスウェルに類似した方程式が得られる。

ABSTRACT

A very general quantum field theory, which is not even assumed to be Lorentz invariant, is studied in the limit of very low energy excitations. Fermion and Boson field theories are considered in parallel. Remarkably, in both cases it is argued that, in the free and lowest energy approximation, a relativistic theory with just three space and one time dimension emerges for each particle type separately. In the case of Fermion fields it is in the form of the Weyl equation, while in the case of the Bosons it is essentially in the form of the Maxwell equations.

研究の動機と目的

• ローレンツ不変性や固定された空間次元数を事前に仮定せずに、一般のローレンツ不変でない量子場理論から、低エネルギー限界においてローレンツ不変性と三次元空間次元を導出すること。
• 従来のフェルミオンのみに限った時空構造の導出を拡張し、ボソン場を含むことで、ランダムダイナミクスフレームワークにおける重要なギャップを埋めること。
• フェルミオンの場合に生じる技術的課題をホモルーモギャップ効果を用いて解決し、一貫性のある低エネルギー有効理論を可能にすること。
• 運動量空間における共通の数学的構造を通じて、フェルミオンおよびボソンの両セクターにおいて3+1次元の出現を統一的に説明すること。
• 一般理論がより多くの次元を含んでいても、観測可能なのはなぜ三次元空間のみなのかを説明する現象論的メカニズムを提供すること。

提案手法

• ローレンツ不変性や固定された空間次元数を仮定しない一般の量子場理論を、フォック空間と運動量固有状態を用いて定式化する。
• フェルミオンおよびボソンの両方のヒルベルト空間において、ハミルトニアンと交換関係が運動量パラメータに滑らかに依存するエルミート場を定義する。
• 両場の運動方程式を分析し、運動量成分に依存する実反対称行列 A_ij を含む共通の形に簡略化される。
• 反対称行列 A_ij の固有値スペクトルを検討し、特に低エネルギー領域における零周波数（ω=0）近傍でのランクと挙動に注目する。
• ホモルーモギャップ効果を適用し、フェルミ表面近傍で関係する自由度が2つの複素成分に制限されることを主張し、有効行列次元を低減する。
• 生存する成分から形成可能な独立した非自明な行列の数が、両ケースにおいて三次元空間次元に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低エネルギー限界において、一般のローレンツ不変でない量子場理論から、ローレンツ不変性と三次元空間次元が自然に出現するか？
• RQ2 運動量空間における反対称行列 A_ij の構造が、フェルミオンおよびボソンの両方において正確に三次元空間次元を予測する仕組みは何か？
• RQ3 ホモルーモギャップ効果は、低エネルギー有効理論におけるフェルミオンの関係する自由度を選択する上で果たす役割は何か？
• RQ4 異なる場の構造を持つにもかかわらず、フェルミオン（ウェイル）およびボソン（マクスウェルに類似）の低エネルギー理論が、なぜ同じ空間次元数を示すのか？
• RQ5 ボソンモデルにおける観測されるパリティ対称性は、観測事実のCPT不変性と整合するのか？その検証可能な意味は何か？

主な発見

• 低エネルギー限界において、一般のローレンツ不変でない場理論は、各粒子種別に正確に三次元空間および一次元時間を持つ相対論的理論へ自然に発展する。
• フェルミオンの場合、ホモルーモギャップ効果により関係する自由度が2つの複素成分に制限され、それらから生成可能な独立した非自明な行列が三つに減少し、三次元空間次元に対応する。
• ボソンの場合、低エネルギースペクトルに関連する反対称行列 A_ij のランクは2であり、変換後に有効な3×3反対称行列に還元され、再び三次元空間次元を予測する。
• 数3は、三つの運動量成分に線形に依存する有効低エネルギーハミルトニアンにおける独立した行列要素の数として現れる。
• フェルミオンの有効理論はウェイル方程式の形を取り、ボソンの理論は3+1次元におけるマクスウェル方程式と等価な形に簡略化される。
• モデルは電磁場に対してパリティ対称状態を予測し、宇宙の大規模構造における鏡像相関をテスト可能なシグネチャとして示唆する。