[論文レビュー] Derivation of Nonlinear Evolution Equations for Coupled and Single Fields in a Quadratic Medium

Jeffrey Moses, Frank W. Wise|ArXiv.org|Apr 20, 2006

Differential Equations and Numerical Methods被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二次非線形媒質における超短パルスの一般化された非線形発展方程式を導出しており、慢変化包絡線近似を拡張して縮退する三波混合をモデル化する。摂動的に結合された方程式を縮約することで、基本波の単一場の近似方程式が得られ、群速度分散およびパルス幅効果に起因する位相速度分散、自己位相変調、および三次非線形項を含む、高次の非線形シュレーディンガー型方程式が得られる。

ABSTRACT

We derive coupled propagation equations for ultrashort pulses in a degenerate three-wave mixing process in quadratic media, using approximations consistent with the slowly evolving wave approximation [T. Brabec and F. Krausz, Phys. Rev. Lett. 78, 3282 (1997)]. From these we derive an approximate single-field equation for the fundamental field. This document expands upon mathematics used for work submitted by the same authors to Physical Review Letters.

研究の動機と目的

• 標準的な慢変化包絡線近似を超えた、超短パルスの二次非線形媒質内伝播をモデル化するより一般的なフレームワークの構築を目的とする。
• SVEAに制限されるパルス長およびスペクトル帯域幅の制限を克服するため、短いパルスを扱えるようにするため、慢変化波近似（SEWA）を用いる。
• 結合された方程式から二次高調波場を摂動的に消去することで、基本周波数の単一場発展方程式を導出する。
• 群速度分散およびパルス幅効果に起因する高次の非線形および分散項を、最終的な単一場方程式に組み込む。

提案手法

• 線形および二次極化寄与を含むフーリエ空間におけるマクスウェル方程式を定式化する。
• 複素包絡関数を用いて電場を基本波成分および二次高調波成分に分解し、慢変化波近似を適用する。
• 波数ベクトルを中心周波数の周りにテイラー展開し、即時非線形性を仮定することで、時間領域における結合された伝搬方程式を導出する。
• 複数スケール摂動解析を用い、包絡関数の進化および分散に慢変数を導入し、展開パラメータ $\beta$ の次数に応じて分離する。
• 漸近展開を用いて、2次高調波場を段階的に消去し、$\hat{a}_{20}$ および $\hat{a}_{21}$ を基本波方程式に代入する。
• 最終的な基本波の単一場方程式を導出し、$1/\beta^2$ までに及ぶ項を含む。これにより、高次の分散および非線形性を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次非線形媒質における基本波および二次高調波場の結合伝搬を、慢変化包絡線近似を超えてどのようにモデル化できるか。
• RQ2 超短パルス伝搬において、二次非線形媒質内で顕著な高次非線形および分散効果は何か。
• RQ3 2次高調波場を結合系から体系的に消去し、基本波の有効な単一場方程式を導出するにはどうすればよいか。
• RQ4 群速度分散が、二次非線形媒質内での超短パルスの非線形発展に果たす役割は何か。
• RQ5 得られる単一場非線形発展方程式の構造は何か。また、正確なモデル化に寄与する高次項はどれか。

主な発見

• 導出された基本波の単一場方程式には、$1/\beta$ 次に比例する自己位相変調項 $|a_1|^2 a_1$ が含まれており、強度依存の周波数シフトを捉えている。
• $1/\beta^2$ 次に顕著な三次非線形項 $|a_1|^2 \partial a_1 / \partial s$ が現れ、群速度分散およびパルス幅効果に起因する。
• $1/\beta^2$ 次に、$\partial |a_1|^2 / \partial s$ を含む線形補正項が現れ、パルス包絡関数における振幅勾配結合を示している。
• 方程式には、$\alpha_1$, $\alpha_2'$, および $\omega_0\tau_0$ に依存する係数を持つ、二次および三次分散項の複雑な組み合わせが含まれており、材料およびパルス特性を反映している。
• 最終的な方程式は、$O(1/\beta^3)$ までに及ぶ項を含む高次非線形シュレーディンガー型方程式であるが、特に $1/\beta$ および $1/\beta^2$ 次の項が支配的である。
• 2次高調波場の摂動的消去により、本質的な非線形および分散物理を保持した一貫性のある閉形式の基本波発展方程式が得られる。