[論文レビュー] Derivation of the Euler equations from many-body quantum mechanics

Bruno Nachtergaele, Horng‐Tzer Yau|ArXiv.org|Oct 19, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、短距離相互作用をもつ多体系量子系の正確なハイゼンベルク力学から、量子エントロピー法および新しい量子バイナル定理を用いて圧縮可能なオイラー方程式を導出する。主な結果は、巨視的圧力が半古典的近似や中間的なボルツマン型記述を経由せずに、量子統計力学から直接生じることを示している。

ABSTRACT

The Heisenberg dynamics of the energy, momentum, and particle densities for fermions with short-range pair interactions is shown to converge to the compressible Euler equations in the hydrodynamic limit. The pressure function is given by the standard formula from quantum statistical mechanics with the two-body potential under consideration. Our derivation is based on a quantum version of the entropy method and a suitable quantum virial theorem. No intermediate description, such as a Boltzmann equation or semi-classical approximation, is used in our proof. We require some technical conditions on the dynamics, which can be considered as interesting open problems in their own right.

研究の動機と目的

• 短距離相互作用をもつフェルミ粒子系の正確な量子力学的運動から、圧縮可能なオイラー方程式を厳密に導出すること。
• 流体力学的極限における巨視的圧力が、量子統計力学的圧力式に正確に与えられることを確立すること。
• 導出過程でボルツマン方程式や半古典的近似といった中間的記述を避けること。
• 多体系量子系における非可換観測量に対して、量子エントロピー法の拡張を構築すること。
• 粒子統計および量子効果が、オイラー極限において圧力関数を通じてのみ巨視的動力学に影響を及ぼすことを示すこと。

提案手法

• 多体系量子系におけるエネルギー、運動量、粒子密度演算子のハイゼンベルク運動方程式を用いる。
• 真の量子状態と局所的ギブス状態との距離を制御するため、相対エントロピー法の量子版を適用する。
• 変分原理を用いて、オイラー方程式の解と一致する時刻依存の局所的ギブス状態を構築する。
• 微視的フラックスと量子統計力学における熱力学的圧力との関係を、量子バイナル定理を用いて結ぶ。
• 非可換観測量の期待値を絶対値を用いずに、相対エントロピーの変分不等式を用いて評価する。
• 非可換性を扱うために、切断関数および可換近似を局所的保存量に導入し、流体力学的極限における非可換性を処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中間的近似を経由せずに、正確なハイゼンベルク力学から圧縮可能なオイラー方程式を導出できるか？
• RQ2 量子圧力関数は流体力学的極限においてどのように出現し、量子統計力学と何の関係にあるか？
• RQ3 量子統計および非可換性は、巨視的流体力学的挙動にどの程度影響を及ぼすか？
• RQ4 相対エントロピー法は、多体系量子系における非可換観測量へと拡張可能か？収束を制御できるか？
• RQ5 量子バイナル定理は、微視的フラックスと巨視的圧力との間を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 短距離相互作用をもつN体フェルミ粒子系のハイゼンベルク力学が、流体力学的極限において圧縮可能なオイラー方程式に収束することを示した。
• オイラー方程式における圧力関数は、修正なしに標準的な量子統計力学的圧力式に正確に与えられる。
• 量子補正項が巨視的スケールにまで残り、これが量子統計および非可換性が巨視的動力学に影響を及ぼす唯一の場所である。
• ボルツマン方程式や半古典的近似に依存せず、量子力学的運動から流体力学へ直接つながる道筋を提供した。
• 量子バイナル定理は、微視的フラックスと熱力学的圧力との関係を導出において不可欠に果たしている。
• 変分不等式と誤差項の精密な評価を用いることで、非可換観測量への相対エントロピー法の適応に成功した。