[論文レビュー] Derivation of the nonlinear Schr\"odinger equation with Coulomb potential

László Erdős, Horng‐Tzer Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2001

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、N 個の相互作用するボソン系を出発点として、積状態の波動関数から出発し、クーロンポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式を平均場極限として導出する。厳密な多体技法を用いて、N → ∞ の極限において相関関数が分解することを証明し、クーロン相互作用を有する系において非線形シュレーディンガー方程式の正当性を確立する。

ABSTRACT

We consider the time evolution of N bosonic particles interacting via a mean field Coulomb potential. Suppose the initial state is a product wavefunction. We show that at any finite time the correlation functions factorize in the limit N ##.

研究の動機と目的

• N 個の相互作用するボソン系の平均場極限として、クーロンポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式を厳密に導出すること。
• クーロン型相互作用下での積状態の初期波動関数の時間発展を分析すること。
• 大N極限における相関関数の分解を確立し、平均場ダイナミクスの出現を確認すること。
• 短距離ポテンシャルに限らない長距離クーロン相互作用を有する系に対しても、非線形シュレーディンガー方程式の有効性を拡張すること。

提案手法

• N体系の縮約密度行列の時間発展を記述するためのBBGKY階層を用いる。
• 階層の簡略化と漸近的解析を可能にするために、積状態の初期波動関数の仮定を用いる。
• N の逆数の摂動展開を用いて、N体ダイナミクスと平均場極限とのずれを制御する。
• 相関関数が N → ∞ の極限で単粒子密度の積に収束することを確立する。
• 時間発展を制御するため、Gronwall型の不等式を用いた相関の成長に関する推定を用いる。
• 平均場極限における可積分性と一様なバインディングを保証するため、クーロンポテンシャルの特定の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーロンポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式は、N 個の相互作用するボソン系の平均場極限として出現するか？
• RQ2 初期状態が積状態の波動関数である場合、相関関数は N → ∞ の極限でどのように振る舞うか？
• RQ3 長距離クーロン相互作用に対して、相関関数の分解を厳密に証明できるか？
• RQ4 初期状態の積構造が平均場ダイナミクスの出現に果たす役割は何か？
• RQ5 クーロン相互作用下での系の時間発展は、大N領域においてどのように振る舞うか？

主な発見

• N体系の相関関数は、極限 N → ∞ において、単粒子密度の積に分解する。
• 系の時間発展は、クーロンポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の解に収束する。
• 収束は任意の有限時間区間において一様であるため、平均場近似の安定性が確認される。
• この導出は、分解が出現するために不可欠な積状態の初期波動関数の仮定のもとで成立する。
• クーロンポテンシャルの長距離性は、平均場極限の有効性を保証するための注意深い推定によって取り扱われる。
• 本結果により、クーロン力によって相互作用する大規模なボソン系をモデル化する非線形シュレーディンガー方程式の使用に、厳密な基礎が確立される。