[論文レビュー] Derivation of the Schroedinger Equation and the Klein-Gordon Equation from First Principles

Gerhard Groessing|ArXiv.org|May 9, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ゼロ点エネルギーを基本的な場として導入することで、古典的ラグランジアンからシュレーディンガー方程式およびクライン・ゴルドン方程式を導出する。エネルギーと運動量の離散性（E=̂ω, p=̂k）を唯一の入力とし、複素波関数を用いず、ゼロ点揺らぎに起因する修正された運動エネルギー項によって、量子力学の古典的基盤を確立する。

ABSTRACT

The Schroedinger- and Klein-Gordon equations are directly derived from classical Lagrangians. The only inputs are given by the discreteness of energy (E=hbar.w) and momentum (p=hbar.k), respectively, as well as the assumed existence of a space-pervading field of "zero-point energy" (E_0=hbar.w/2 per spatial dimension) associated to each particle of energy E. The latter leads to an additional kinetic energy term in the classical Lagrangian, which alone suffices to pass from classical to quantum mechanics. Moreover, Heisenberg's uncertainty relations are also derived within this framework, i.e., without referring to quantum mechanical or other complex-numbered functions.

研究の動機と目的

• 古典的力学を用いて、第一原理からシュレーディンガー方程式およびクライン・ゴルドン方程式を導出すること。
• ゼロ点エネルギー場を用いて修正された古典的ラグランジアンから、量子的挙動がどのように生じるかを示すこと。
• 複素量子振幅や波関数に依存せずに、ハイゼンベルクの不確定性関係を導出すること。
• 離散的エネルギーと運動量および普遍的なゼロ点場に基づいて、量子力学の古典的基盤を確立すること。
• シュレーディンガー方程式およびクライン・ゴルドン方程式が、ゼロ点揺らぎに起因する修正された古典的運動エネルギー項から自然に導かれるという点を示すこと。

提案手法

• 導出は、空間を貫くゼロ点エネルギー場に起因する追加の運動エネルギー項を含む古典的ラグランジアンから出発する。
• ゼロ点エネルギーは、空間的次元ごとにE_0 = ̂ω/2としてモデル化され、粒子の全エネルギーに寄与する。
• 連続的な古典的仮定に代えて、離散的エネルギーE = ̂ωおよび運動量p = ̂kを基本的入力として導入する。
• 修正されたラグランジアンは、正準量子化を施すと、シュレーディンガー方程式およびクライン・ゴルドン方程式の運動方程式を再現する。
• この枠組みでは、位置と運動量の揺らぎにゼロ点場が与える影響から直接的にハイゼンベルクの不確定性原理が導かれる。
• 複素数値の波関数を避けて、実数値の古典的場と確率的力学に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波関数や複素振幅を用いず、古典的ラグランジアンからシュレーディンガー方程式を導出できるか？
• RQ2 普遍的な場としてのゼロ点エネルギーを組み込むことで、古典力学にどのようにして量子的挙動が現れるか？
• RQ3 同様の離散的エネルギーと運動量の原則およびゼロ点場を用いて、クライン・ゴルドン方程式を導出できるか？
• RQ4 ハイゼンベルクの不確定性原理は、古典的場の力学とゼロ点揺らぎからどれほどまでに導出可能か？
• RQ5 古典的力学とゼロ点エネルギー背景のみを用いて、第一原理から量子力学の基本方程式を再現できるか？

主な発見

• 波関数を一切用いず、ゼロ点エネルギー寄与を含む古典的ラグランジアンからシュレーディンガー方程式が導出された。
• 同様の枠組みを用いてクライン・ゴルドン方程式も導出され、相対論的粒子への応用が可能となった。
• ハイゼンベルクの不確定性原理は、ゼロ点場の揺らぎの結果として再現され、複素量子振幅を必要としなかった。
• ゼロ点エネルギー場はラグランジアンに追加の運動エネルギー項を導入し、これが古典的から量子的挙動への転移を規定する唯一の要因であった。
• 離散的エネルギーと運動量（E=̂ω, p=̂k）と、量子力学的ダイナミクスの出現との間の直接的な関係が確立された。
• シュレーディンガー方程式およびクライン・ゴルドン方程式が、修正されたラグランジアンの自然な結果として生じることを示し、量子力学に実数値の古典的基盤を提供した。