[論文レビュー] Derivation of the stochastic Burgers equation with Dirichlet boundary conditions from the WASEP

Patrícia Gonçalves, Nicolas Perkowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 49被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、両端にバケツを備えた有限区間における弱く非対称な単純排除過程（WASEP）から、ディリクレ型境界条件を伴う確率的バーガース方程式を導出する。拡散スケーリングおよび$1/\sqrt{n}$オーダーの弱い非対称性の下で、密度ゆらぎはエネルギー解として一意に特定される確率的バーガース方程式に収束する。これはコール・ホプフ解とは異なり、異なるものである。

ABSTRACT

We consider the weakly asymmetric simple exclusion process on the discrete space $\\{1,...,n-1\\}$, in contact with stochastic reservoirs, both with density $\ ho\\in{(0,1)}$ at the extremity points, and starting from the invariant state, namely the Bernoulli product measure of parameter $\ ho$. Under time diffusive scaling $tn^2$ and for $\ ho=\\frac12$, when the asymmetry parameter is taken of order $1/ \\sqrt n$, we prove that the density fluctuations at stationarity are macroscopically governed by the energy solution of the stochastic Burgers equation with Dirichlet boundary conditions, which is shown to be unique and different from the Cole-Hopf solution.

研究の動機と目的

• 開いた境界を持つ弱く非対称な単純排除過程（WASEP）のマクロな流体力学的極限を、拡散スケーリングの下で確立すること。
• 弱い非対称性の下で定常状態における密度ゆらぎを支配する極限方程式を特定すること。
• ディリクレ型境界条件を伴う確率的バーガース方程式のエネルギー解の一意性を証明すること。
• エネルギー解が、他のスケーリング極限で出現するコール・ホプフ解とはどのように異なるかを明らかにすること。
• 2次ボルツマン＝ギブス原理が、微視的ダイナミクスから非線形SPDEを導出するための鍵となるツールであることを検証すること。

提案手法

• 電流場における非線形性を制御し、確率的バーガース方程式を導出するために、2次ボルツマン＝ギブス原理（BGP）の使用。
• 電流場のレベルで微視的コール・ホプフ変換を適用し、ダイナミクスを線形化すること。
• 時間拡散スケーリング$tn^2$の下での密度ゆらぎ場に関連するマルティングルの問題の分析。
• 端点における電流の漸近的解析を通じて境界条件を導出し、ディリクレ型の項への収束を示すこと。
• マーティングル成分の指数モーメントと二次変動を制御し、緊密性と収束を保証すること。
• 古典的定式化が適切でないのを避けるために、エネルギー解の概念を用いて確率的バーガース方程式の解を定義・特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開いた境界を持つWASEPの密度ゆらぎ場は、拡散スケーリングおよび弱い非対称性の下で、確率的バーガース方程式の解に収束するか？
• RQ2 マクロな極限において、どのような境界条件が出現するか。ロビン型や周期的境界条件とはどのように異なるか？
• RQ3 極限解は一意的か。KPZの文脈におけるコール・ホプフ解とはどのように関係するか？
• RQ4 2次ボルツマン＝ギブス原理を用いて、微視的ダイナミクスから確率的バーガース方程式の非線形項を導出可能か？
• RQ5 非対称性パラメータ$\alpha_n \sim 1/\sqrt{n}$は、マクロな方程式を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 拡散スケーリング$t n^2$および非対称性$\alpha_n \sim 1/\sqrt{n}$の下で、密度ゆらぎ場はディリクレ型境界条件を伴う確率的バーガース方程式のエネルギー解に収束する。
• 極限解は一意的であり、他のスケーリング領域で出現するコール・ホプフ解とは異なる。
• 極限における境界条件はディリクレ型であり、特定のバケツ密度$\rho = 1/2$と弱い非対称性スケーリングに起因する。
• 2次ボルツマン＝ギブス原理により、微視的ダイナミクスからマクロな方程式における非線形項$\nabla({\mathcal{Y}}^2)$の出現が可能になる。
• 電流場のマーティングル成分の二次変動は、$\frac{E^2 t}{2} \int_0^1 |\Phi_s(u)|^2 \varphi^2(u) du$に収束し、SPDEの構造と整合的である。
• 緊密性とマルティングル問題の解を介して電流場の収束が確立され、与えられたスケーリング下で境界項は極限において消える。