[論文レビュー] Derivation of the Time Dependent Gross Pitaevskii Equation with External Fields

Peter Pickl|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、BBGKY階層を避ける新しい手法を用いて、外部場を伴う時間に依存するGross-Pitaevskii方程式を導出しており、N体シュレーディンガー力学から非線形平均場方程式への収束を確立している。このアプローチは散乱状態を用いて微視的相関を制御し、$V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ とスケーリングする相互作用に対して $μ > 2$ の場合に、時間に一様な収束を示しており、一般の外部ポテンシャルおよびソフト相互作用へと以前の結果を拡張している。

ABSTRACT

Using a new method [9] it is possible to derive mean field equations from the microscopic N-body Schrodinger evolution of interacting particles without using BBGKY hierarchies. Recently this method was used to derive the Hartree equation for singular interactions [4] and the Gross Pitaevskii equation without positivity condition on the interaction [10] where one had to restrict the scaling behaviour of the interaction. In this paper more general scalings shall be considered assuming positivity of the interaction.

研究の動機と目的

• 時間に依存する外部ポテンシャル下でのボーズ＝アインシュタイン凝縮に対する時間に依存するGross-Pitaevskii方程式を導出すること。
• N体シュレーディンガー力学が非線形平均場方程式に時間に一様に収束することを確立すること。
• 相互作用が $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ とスケーリングする $\mu > 2$ の場合に、散乱長が $N^{-1}$ のオーダーのままとなるように、以前の結果を一般化すること。
• 散乱長がゼロエネルギーの散乱状態を用いて $\beta = 1$ の場合の波動関数内の微視的相関を制御すること。
• 従来のBBGKY階層を避ける関数的アプローチを用いて、収束速度の上限を評価すること。

提案手法

• N体波動関数 $\Psi_t$ と凝縮状態 $\phi_t$ 間の距離を追跡する新しい関数 $\Gamma(\Psi, \phi)$ を導入する。
• 粒子相関および外部場に起因する誤差項を制御するための関数的の階層 $\gamma_{j,k}$ と $\gamma'_{j,k}$ を用いる。
• $x_2$ 積分の下でホルダーおよびソボレフ不等式を適用し、非局所的相互作用項を評価する。
• $\beta = 1$ の場合に散乱長近似を適用し、相互作用ポテンシャルが $f^1_1(Nx)$ のスケーリングをとるゼロエネルギー散乱状態を用いる。
• $\Gamma(\Psi_t, \phi_t)$ に対するグロンウォール型推移を用いて、$\phi_t$ の減衰仮定の下で時間に一様な収束を証明する。
• $\alpha'$ 項を特に $\beta = 1$ の場合に制御するため、関数的を繰り返し調整し、$\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$ と $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ の上限を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BBGKY階層に依存せずに、一般の外部ポテンシャルに対して時間に依存するGross-Pitaevskii方程式を導出できるか？
• RQ2 相互作用がソフトで $\beta = 1$ の場合に、N体波動関数が凝縮状態に時間に一様に収束する様子はいかなるものか？
• RQ3 $N^\mu$（$\mu > 2$）と急激に増加する結合定数が、Gross-Pitaevskii極限における有効平均場に与える影響は何か？
• RQ4 相互作用が特異的（$\beta = 1$）またはソフト（$\beta < 1$）となる場合に、N体波動関数内の微視的相関をどのように制御できるか？
• RQ5 凝縮状態波動関数 $\phi_t$ に適切な減衰条件が成り立つ場合に、収束速度を時間に一様に上限付けることは可能か？

主な発見

• $\beta = 1$ および相互作用 $V_{1,\mu}(x) = N^\mu V(N^{-1}x)$ で $\mu > 2$ の場合、有効平均場は $2a|\phi_t|^2$ となる。ここで $a$ は $V$ の散乱長である。
• 時間に一様な収束が、$\phi_t$ の減衰条件の下で、1粒子縮約密度行列が $|\phi_t\rangle\langle\phi_t|$ に作用素ノルムで収束することを証明している。
• 収束速度は $\Gamma(\Psi_t, \phi_t) \leq e^{\int_0^t (\|\phi_s\|_\infty + (\ln N)^{1/3}\|\nabla\phi_s\|_{6,\text{loc}} + \|\dot{A}_s\|_\infty) K(\phi_s) ds} (\Gamma(\Psi_0, \phi_0) + N^{-\eta})$ で上限づけられており、時間に一様な制御が保証される。
• $\beta = 1$ の場合、$\|\nabla_1 q_1 \Psi\|$ は $\|\nabla_2 q_2 \Psi\|$ の精緻な推定を用いて制御され、$\alpha'_2$ を制御可能にするために2度目の調整が施される。
• 関数 $\Gamma$ は $c\alpha(\Psi, \phi) - CN^{-\eta} \leq \Gamma(\Psi, \phi) \leq \alpha(\Psi, \phi) + CN^{-\eta}$ を満たし、きめ細やかな誤差制御が可能になる。
• この手法は $0 < \beta < 1$ および $\beta = 1$ に一般化可能であり、$\beta < 1$ の場合の平均場は $\|V\|_1 |\phi_t|^2$ で与えられ、1次ボーン近似と整合的である。