[論文レビュー] Derivations and Iterated Skew Polynomial Rings

Michael Gr. Voskoglou|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反復歪多項式環の単純性を決定する要因としての微分作用素の導出を調査する。特性0の体上でのクルール次元1の可換かつ有限生成代数に対して、単一の微分作用素に関する微分単純性が、対応する歪多項式環の単純性の必要十分条件であることが示された。

ABSTRACT

Two are the objectives of the present paper. First we study properties of a differentially simple commutative ring R with respect to a set D of derivations of R. Among the others we investigate the relation between the D-simplicity of R and that of the local ring RP with respect to a prime ideal P of R and we prove a criterion about the D- simplicity of R in case where R is a 1-dimensional (Krull dimension) finitely generated algebra over a field of characteristic zero and D is a singleton set. The above criterion was quoted without proof in an earlier paper of the author. Second we construct a special class of iterated skew polynomial rings defined with respect to finite sets of derivations of a ring R (not necessarily commutative) commuting to each other. The important thing in this class is that, if R is a commutative ring, then its differential simplicity is the necessary and sufficient condition for the simplicity of the corresponding skew polynomial ring. Key-Words- Derivations, Differentially simple rings, Finitely-generated algebras, Iterated skew polynomial rings, Simple rings.

研究の動機と目的

• 可換環の集合 D に関する D-単純性を分析すること。
• 環 R の D-単純性とその素イデアルにおける局域化の D-単純性との関係を調査すること。
• D が単一の要素である場合に、特性0の体上での1次元的かつ有限生成代数における D-単純性の基準を確立すること。
• 可換な微分作用素を用いて環 R 上で反復歪多項式環を構成すること。
• R が可換であるとき、その微分単純性が対応する歪多項式環の単純性の必要十分条件であることを証明すること。

提案手法

• 可換環上の微分作用素の構造と、素イデアルにおける局域化におけるその挙動を分析する。
• 可換代数および微分代数の技法を用いて、微分作用素の下での環のイデアル構造を研究する。
• 有限生成性とクルール次元1の仮定を用いて、単一の微分作用素の場合の D-単純性の基準を導出する。
• 互いに可換な微分作用素の列を用いて反復歪多項式環を構成する。
• 得られる歪多項式環の単純性を保証するための鍵となる条件として、微分単純性の概念を用いる。
• 可換な微分作用素が反復歪多項式拡張を明確に定義可能にすることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環 R が微分作用素の集合 D を持つとき、どのような条件下で D-単純となるか？
• RQ2 R の D-単純性は、その素イデアルにおける局域化の D-単純性とどのように関係するか？
• RQ3 D が単一の集合である場合に、特性0の体上での1次元的かつ有限生成代数における D-単純性を保証する基準は何か？
• RQ4 どのような条件下で、可換な微分作用素から構成された反復歪多項式環が単純となるか？
• RQ5 可換環 R の微分単純性が、対応する歪多項式環の単純性の必要十分条件であるか？

主な発見

• 特性0の体上でのクルール次元1の可換かつ有限生成代数 R に対して、R が D-単純であることと、非自明な D-不変イデアルをもたないこととは同値である。
• R の D-単純性は、任意の R の素イデアル P に対して、局域化 RP の D-単純性を示唆する。
• D が単一の集合である場合、R の D-単純性は、R 内に非自明な D-安定イデアルが存在しないことによって特徴づけられる。
• 可換な微分作用素を用いて構成された反復歪多項式環は、R が微分単純であるときかつそのときに限り単純である。
• 可換な微分作用素による反復歪多項式環の構成は、制御されたイデアル論理を有する明確な環構造をもたらす。
• 本稿は、著者の以前の研究で根拠なしに引用されていた D-単純性に関する基準の証明を提供している。