[論文レビュー] Derivations for the even parts of modular Lie superalgebras $W$ and $S$ of Cartan type

Wende Liu, Yongzheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p > 3$ の体上のカタン型のモジュラーLie超代数 $W$ および $S$ の偶数部 $\Omega$ および $\Sigma$ の導来代数および外部導来代数を決定する。正規化トーラスと階数構造を用いて、外部導来代数が明示的な次元公式を持つアーベルまたはメタアーベルであることを証明し、$S$ に対して、その偶数部の外部導来代数が外部超導来代数と一致するための必要十分条件は $n$ が偶数であることであることを示す。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}$ be the underlying base field of characteristic $p>3 $ and denote by $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}$ the even parts of the finite-dimensional generalized Witt Lie superalgebra $W$ and the special Lie superalgebra $S,$ respectively. We first give the generator sets of the Lie algebras $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Using certain properties of the canonical tori of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S},$ we then determine the derivation algebra of $\mathcal{W}$ and the derivation space of $\mathcal{S} $ to $\mathcal{W},$ where $\mathcal{W}$ is viewed as $\mathcal{S} $-module by means of the adjoint representation. As a result, we describe explicitly the derivation algebra of $\mathcal{S}.$ Furthermore, we prove that the outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S} $ are abelian Lie algebras or metabelian Lie algebras with explicit structure. In particular, we give the dimension formulae of the derivation algebras and outer derivation algebras of $\mathcal{W}$ and $\mathcal{S}.$ Thus we may make a comparison between the even parts of the (outer) superderivation algebras of $W$ and $S$ and the (outer) derivation algebras of the even parts of $W$ and $S,$ respectively.

研究の動機と目的

• 一般化されたウィットLie超代数 $W(m,n;\underline{t})$ の偶数部 $\mathcal{W}$ の導来代数を決定すること。
• $\mathcal{W}$ が随伴表現を介して作用するとき、$\mathcal{S}$ から $\mathcal{W}$ への導来空間を計算すること。
• 特殊Lie超代数 $S(m,n;\underline{t})$ の偶数部 $\mathcal{S}$ の完全導来代数を記述すること。
• $\mathcal{W}$ および $\mathcal{S}$ の外部導来代数の構造を分類し、それらがアーベルまたはメタアーベルであることを示すこと。
• 外部超導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ とその偶数部 $\mathcal{S}$ の外部導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ を比較し、両者が一致する条件を特定すること。

提案手法

• $\mathcal{W}$ および $\mathcal{S}$ の生成集合を用いて、$\mathbb{Z}$-階数と、導来を制御する上位成分 $\mathcal{L}_{-1} \oplus \mathcal{L}_0$ の役割を分析する。
• $\mathcal{W}$ および $\mathcal{S}$ における正規化トーラスの性質を適用し、内部導来を modulo として、$\mathcal{L}_{-1}$ に消える導来に還元する。
• 発散写像 $\mathrm{div}: \mathcal{W} \to \mathrm{div}(\mathcal{W})$ を用い、$\ker(\mathrm{div}|_{\mathcal{W}})$ が $\overline{\mathcal{S}}$、つまり $\mathcal{S}$ のコアに一致することを特定する。
• 明示的な部分代数 $\mathfrak{P}$ および $\mathcal{J}$ を構成し、アーベルLie代数 $V$ 上の半単純自己準同型 $A$ を用いて、$n$ が偶数のとき $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ のメタアーベル構造を構築する。
• 同型 $\widetilde{\mathcal{S}} \cong \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$ を用いて、導来代数を分解し、次元を計算する。
• [8] の結果を応用して超導来代数の理論を適用し、$\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ と $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ を比較して、両者が同型である条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたウィットLie超代数 $W(m,n;\underline{t})$ の偶数部 $\mathcal{W}$ の導来代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ の構造は何か？
• RQ2 $\mathcal{S}$ から $\mathcal{W}$ への導来空間 $\mathrm{Der}(\mathcal{S}, \mathcal{W})$ は、$\mathcal{S}$ が $\mathcal{W}$ に随伴表現を介して作用するのとどのように関係するか？
• RQ3 特殊Lie超代数 $S(m,n;\underline{t})$ の偶数部 $\mathcal{S}$ の導来代数 $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ の明示的構造は何か？
• RQ4 外部導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ と外部超導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ が一致する条件は何か？
• RQ5 $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$, $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$, $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$, および $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ の次元公式は何か？

主な発見

• $\mathrm{Der}(\mathcal{W})$ は $\widetilde{\mathcal{W}}$ に同型であり、$n$ が偶数のとき次元は $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$、$n$ が奇数のとき $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ である。
• $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{W})$ はアーベルであり、$n$ が偶数のとき次元は $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} - 1$、$n$ が奇数のとき $2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ である。
• $\mathrm{Der}(\mathcal{S})$ は $\widetilde{\mathcal{S}} = \overline{\mathcal{S}} \oplus \mathbb{F} \cdot \Gamma_{1'} \oplus \mathcal{J}$ に同型であり、$n$ が偶数のとき $\dim_{\mathbb{F}}(\overline{\mathcal{S}}) = (m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i} + 1$、$n$ が奇数のとき $(m+n-1)2^{n-1}p^{\sum_{i\in Y_0} t_i}$ である。
• $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ はアーベルであり、$n$ が奇数のとき次元は $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i - m$ である。
• $n$ が偶数のとき、$\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ は次元 $1 + \sum_{i\in Y_0} t_i$ のメタアーベルLie代数 $\mathcal{L}_{\mathcal{S}} = \mathbb{F} \cdot A \ltimes V$ に同型であり、ここで $V$ は次元 $\sum_{i\in Y_0} t_i$ のアーベルLie代数であり、$A$ は指定された固有空間次元を持つ半単純自己準同型である。
• 外部超導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(S)$ と外部導来代数 $\mathrm{Der}_{\text{out}}(\mathcal{S})$ が一致するのは、$n$ が偶数であるときであり、これはRemark 5.2.6で示されている。