[論文レビュー] Derivations in algebras of operator-valued functions

A. F. Ber, B. de Pagter+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、X が可分かつ無限次元であるとき、すべての微分作用素が $ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ の代数における内微分作用素であることを確立している。これは、有限次元の場合には非内微分作用素が存在するのと対照的である。主要な結果は、$ S(\mathcal{M}) $、$ LS(\mathcal{M}) $、$ S(\tau) $ などの、von Neumann 代数に付随する可測関数の代数へと拡張され、適切な条件下でこれらの代数におけるすべての微分作用素が内微分作用素であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study derivations in subalgebras of $L_{0}^{wo}(ν;% \mathcal{L}(X)) $, the algebra of all weak operator measurable funtions $f:S o \mathcal{L}(X) $, where $% \mathcal{L}(X) $ is the Banach algebra of all bounded linear operators on a Banach space $X$. It is shown, in particular, that all derivations on $L_{0}^{wo}(ν;\mathcal{L}(X)) $ are inner whenever $X$ is separable and infinite dimensional. This contrasts strongly with the fact that $L_{0}^{wo}(ν;\mathcal{L}(X)) $ admits non-trivial non-inner derivations whenever $X$ is finite dimensional and the measure $ν$ is non-atomic. As an application of our approach, we study derivations in various algebras of measurable operators affiliated with von Neumann algebras.

研究の動機と目的

• バナッハ空間 $ X $ 上の有界作用素 $ \mathcal{L}(X) $ に値をとる弱作用素可測関数の代数における微分作用素の構造を調査すること。
• 微分作用素が $ X $ の次元に応じて内微分作用素か非内微分作用素かに分かれるかどうかを特定すること。
• $ S(\mathcal{M}) $、$ LS(\mathcal{M}) $、$ S(\tau) $ などの、半有限 von Neumann 代数に付随する可測作用素の代数へ結果を拡張すること。
• 既存のモジュール論的アプローチとは対照的に、非可換積分における微分作用素の新たな関数解析的アプローチを提供すること。
• 適切に無限大の von Neumann 代数における微分作用素の $ \mathcal{Z} $-線形性を確立し、付随する作用素代数における微分作用素の構造に含意をもたらすこと。

提案手法

• 著者たちは、測度空間 $ (S, \Sigma, \nu) $ から $ \mathcal{L}(X) $ への弱作用素可測関数の代数 $ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ の部分代数における微分作用素を分析している。
• 彼らは、特定の収束およびスペクトル的条件に関して閉じた「適切な部分代数」の概念を導入している。
• 証明はスペクトル論および $ \mathcal{L}(X) $ の射影の性質、特に非有界作用素のスペクトル射影の振る舞いに依拠している。
• 著者たちは、$ \mathcal{M} = L_\infty(\nu) \overline{\otimes} B(H) $ のとき、$ LS(\mathcal{M}) $ が $ L_0^{wo}(\nu; B(H)) $ と同一視できることを用い、関数空間的枠組みと作用素代数的枠組みを結びつけている。
• 彼らは測度収束および局所的可測性に関する結果を適用し、$ S(\mathcal{M}) $、$ LS(\mathcal{M}) $、$ S(\tau) $ における微分作用素が内微分作用素であることを示している。これは、無限次元の場合の内微分作用素性の性質を応用することで得られる。
• 適切に無限大の von Neumann 代数における微分作用素の $ \mathcal{Z} $-線形性の証明は、無限大射影の存在およびスペクトル分解技術に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X が可分かつ無限次元であるとき、$ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ におけるすべての微分作用素は内微分作用素か？
• RQ2 X が有限次元か無限次元かに応じて、微分作用素の性質はどのように異なるか？
• RQ3 $ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ における内微分作用素性は、von Neumann 代数に付随する可測作用素の代数へ拡張可能か？
• RQ4 これらの代数における微分作用素を特徴付けるために、測度収束の位相は果たす役割は何か？
• RQ5 適切に無限大の von Neumann 代数における微分作用素の $ \mathcal{Z} $-線形性は、代数のスペクトル構造の結果か？

主な発見

• X が可分かつ無限次元である限り、$ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ におけるすべての微分作用素は内微分作用素である。
• X が有限次元で $ \nu $ が非原子的であるとき、$ L_0^{wo}(\nu; \mathcal{L}(X)) $ は非自明な非内微分作用素を含む。
• $ \mathcal{M} = L_\infty(\nu) \overline{\otimes} B(H) $ に付随する局所可測作用素の代数 $ LS(\mathcal{M}) $ は $ L_0^{wo}(\nu; B(H)) $ と同型であり、$ LS(\mathcal{M}) $ におけるすべての微分作用素は内微分作用素である。
• $ S(\mathcal{M}) $ および $ S(\tau) $ における微分作用素も、適切な部分代数への主結果の応用により内微分作用素であることが示された。
• $ LS(\mathcal{M}) $ における局所測度収束の位相は、$ L_0^{wo}(\nu; B(H)) $ における自然な測度収束の位相と一致する。この事実は、内微分作用素性の結果を支持している。
• $ \mathcal{M} $ が適切に無限大である $ \ast $-部分代数 $ \mathcal{A} \supseteq \mathcal{M} $ における任意の微分作用素は $ \mathcal{Z} $-線形である。これは、主要な構造的性質である。