[論文レビュー] Derivations in the Banach ideals of $τ$-compact operators

A. F. Ber, Fedor Sukochev|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、E(τ) が弱反射的などの軽微な条件を満たす場合、von Neumann代数 𝒩 から τ-コンパクト作用素の対称作用素空間 E(τ) への導分が内導分であることを確立している。主な手法は、ユニタリ群による E(τ) 上のアフィン等長写像としての群作用を用い、固定点定理（Namioka-Phelps または Ryll-Nardzewski）を適用して実装要素 d を構成し、δ(x) = [d,x] を得る。中心的な結果として、任意の 1 < p < ∞ に対して、𝒩 から L_p(𝒫,τ) へのすべての導分が内導分であることが示され、非可換解析における長年の未解決問題が解けた。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be a von Neumann algebra equipped with a faithful normal semi-finite trace $τ$ and let $S_0(τ)$ be the algebra of all $τ$-compact operators affiliated with $\mathcal{M}$. Let $E(τ)\subseteq S_0(τ)$ be a symmetric operator space (on $\mathcal{M}$) and let $\mathcal{E}$ be a symmetrically-normed Banach ideal of $τ$-compact operators in $\mathcal{M}$. We study (i) derivations $δ$ on $\mathcal{M}$ with the range in $E(τ)$ and (ii) derivations on the Banach algebra $\mathcal{E}$. In the first case our main results assert that such derivations are continuous (with respect to the norm topologies) and also inner (under some mild assumptions on $E(τ)$). In the second case we show that any such derivation is necessarily inner when $\mathcal{M}$ is a type $I$ factor. As an interesting application of our results for the case (i) we deduce that any derivation from $\mathcal{M}$ into an $L_p$-space, $L_p(\mathcal{M},τ)$, ($1

研究の動機と目的

• von Neumann代数 𝒩 から τ-コンパクト作用素の対称作用素空間 E(τ) への導分が、E(τ) のノルム位相に関して連続的かつ内導分であるかどうかを特定すること。
• 非可換 L_p 空間の文脈において、τ-可測作用素の代数における導分の構造に関する未解決問題を解消すること。
• C*-代数および対称ノルム付イデアルにおける古典的結果を、von Neumann代数および τ-コンパクト作用素の対称ノルム付バナッハイデアルのより広い設定へと拡張すること。
• 非可換測度論における群作用と固定点定理を用いた内導分を示す一般枠組みを提供すること。

提案手法

• ユニタリ群 𝒰(𝒫) の各 u に対して、T_u(x) = uxu* + δ(u)u* で定義される E(τ) 上の群作用 T_u を定義し、これがバナッハ空間 E(τ) 上のアフィン等長写像であることを示す。
• E(τ) 内で、軌道 T(0) 及びその凸包が有界かつ弱*コンパクトであることを示し、弱反射性または分離可能性の仮定のもとでバナッハ＝アラオグルの定理を適用する。
• 弱*閉包 co(T(0)) 上での Namioka-Phelps 固定点定理を、作用 T に適用し、任意の u ∈ 𝒰(𝒫) に対して d = T_u(d) を満たす d ∈ E(τ) を得る。
• 固定点条件から、すべてのユニタリ u ∈ 𝒰(𝒫) に対して δ(u) = [d,u] が成り立つことを導出し、線形性により 𝒩 のすべての x へと拡張する。
• 𝒩 の任意の元がユニタリの線形結合として表せることを用い、すべての x ∈ 𝒩 に対して δ(x) = [d,x] が成り立つことを示し、導分が内導分であることを証明する。
• d のノルムが ‖d‖_E ≤ ‖δ‖ を満たすことを示し、実装要素に対する定量的評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 von Neumann代数 𝒩 から対称作用素空間 E(τ)（τ-コンパクト作用素）への導分は、E(τ) のノルム位相に関して必ず連続的であるか？
• RQ2 どのような条件下で、このような導分が内導分（すなわち δ(x) = [d,x] となる d ∈ E(τ) が存在する）となるか？
• RQ3 任意の von Neumann代数 𝒩 から L_p(𝒫,τ)（1 < p < ∞）への導分はすべて内導分か？
• RQ4 非可換 L_p 空間において、群作用と固定点定理を用いて内実装の存在を確立できるか？
• RQ5 L_∞(0,1) 上の非自明な導分の像は、S(τ) 内の任意のバナッハ 𝒫-両側加群に含まれないか？

主な発見

• E(τ) が弱反射的であるとき、任意の連続的導分 δ: 𝒩 → E(τ) は内導分である。すなわち、ある d ∈ E(τ) が存在し、δ(x) = [d,x] かつ ‖d‖_E ≤ ‖δ‖ を満たす。
• すべての 1 < p < ∥ に対して、導分 δ: 𝒩 → L_p(𝒫,τ) は内導分である。これは非可換解析における重要な未解決問題を解消した。
• 実装要素 d の構成は、ユニタリ群作用下での軌道 {T_u(0)} の凸包の弱*閉包に Namioka-Phelps 固定点定理を適用することに依存する。
• 群作用 T_u(x) = uxu* + δ(u)u* は E(τ) 上のアフィン等長写像であり、その固定点 d はすべての u ∈ 𝒰(𝒫) に対して d = T_u(d) を満たす。
• E(τ) が C*-代数でなくても、この結果は成り立つ。これは、コンパクト作用素から一般の対称ノルム付イデアルへの古典的結果の拡張である。
• 任意の非自明な導分が L_∞(0,1) 上に作用するとき、その像は S(τ) 内のいかなるバナッハ 𝒫-両側加群にも含まれない。これは文献にあった予想を確認するものである。