[論文レビュー] Derivations of quasi *-algebras

Фабио Багарелло, A. Inoue+1 more|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、擬 *-代数上の微分作用素の空間的性質を調査し、特に、稠密な *-部分代数上で定義された微分作用素が線形作用素によって実装可能かどうかに焦点を当てる。表現論と位相的閉包技法を用いて、空間的微分作用素の列の極限として得られる微分作用素が空間的である条件を確立する。実装作用素は、元の実装作用素の列の極限として得られる。主な貢献は、熱力学的極限を伴う物理系の文脈において、このような極限微分作用素の空間的性質を保証する十分条件を提示することにある。

ABSTRACT

The spatiality of derivations of quasi *-algebras is investigated by means of representation theory. Moreover, in view of physical applications, the spatiality of the limit of a family of spatial derivations is considered.

研究の動機と目的

• 擬 *-代数上の微分作用素の空間的性質を、特に熱力学的極限を伴う物理系の文脈で調査すること。
• 擬 *-代数の稠密な *-部分代数上で定義された微分作用素が、線形作用素によって実装可能である条件を特定すること。
• 空間的微分作用素のネットの極限を分析し、極限微分作用素が空間的である条件を確立すること。
• リガードヒルベルト空間における qu*-表現へ結果を拡張し、量子場理論や特異な場演算子に適していること。
• 正則化されたハミルトニアンの極限過程を用いて、代数的力学を定義する厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿は、特に *-表現およびそのより大きな定義域への拡張に注目して、擬 *-代数上の微分作用素を表現論を用いて分析する。
• 局所凸位相 τ における位相的完備化を用いて、稠密な *-部分代数を超えて微分作用素を拡張するための τ-閉包可能性の概念を導入する。
• 特異な演算子（例：点状の量子場）を扱えるように、リガードヒルベルト空間上での *-代数の qu*-表現を定義する。
• 表現に関連するセスキリアン形式の jointly 連続性を確立し、拡張された演算子および微分作用素の定義可能性を保証する。
• 主要な技術的手段として、稠密な定義域の双対空間内の作用素を用いて、ノルムを推定する。これは、表現の定義域にトポロジー t† を導入することにより実現される。
• 空間的性質の証明は、拡張された微分作用素が、ある作用素 H に対して δ(A) = [H, A] を満たすことを示すことでなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬 *-代数上の微分作用素が空間的（すなわち、線形作用素によって実装可能）である条件は何か？
• RQ2 空間的微分作用素の列の極限として得られる微分作用素は空間的であるか？また、その実装作用素は元の実装作用素の列の極限であるか？
• RQ3 局所凸位相 τ における *-代数の完備化への *-表現の空間的性質をどのように拡張できるか？
• RQ4 リガードヒルベルト空間における qu*-表現によって誘導される *-微分作用素が空間的であるための条件は何か？
• RQ5 量子場理論の文脈において、場の無限小時間移動が、観測量の擬 *-代数上での空間的微分作用素として表現可能となる条件は何か？

主な発見

• 擬 *-代数 (A, A₀) 上の微分作用素 δ が空間的であるための必要十分条件は、δ が τ-閉包可能であり、* -表現の稠密定義域上で関連するセスキリアン形式が jointly 連続であることである。
• 空間的微分作用素のネット {δL} の極限が空間的であるための条件は、対応する実装作用素 {HL} が適切なトポロジーで収束することである。これにより、極限微分作用素が極限作用素 H によって実装されることが保証される。
• *-表現 π₀ の完備化 A への拡張は、well-defined であり、(τ−τqs)-連続性を満たす。これにより、A 上での微分作用素 δπ が適切に定義可能となる。
• 微分作用素 δπ の空間的性質は、H が実装作用素の極限から構成され、すべての A ∈ A に対して δπ(A) = [H, A] が成り立つことによって確立される。
• 結果は、リガードヒルベルト空間における qu*-表現へ拡張され、特異な量子場を L(D, D′) の元として取り扱うための枠組みが提供される。
• 本稿は、ハミルトニアンを正則化した後、熱力学的極限に近づける過程を用いて、量子系における代数的力学を定義する厳密な基盤を提供する。