[論文レビュー] Derivative-based global sensitivity measures and their link with Sobol sensitivity indices

Sergei Kucherenko, Shufang Song|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、導出に基づくグローバル感度測定（DGSM）とソボルの全感度インデックスの理論的関連を確立し、DGSMが $S_i^{ ext{tot}}$ の計算的に効率的な下限および上限を提供できることを示している。この手法により、最小限の計算コストで高速な変数スクリーニングとモデル簡略化が可能となり、アルゴリズム的微分を用いたモンテカルロまたは準モンテカルロ統合により、大多数のケースで入力変数の正確な順序付けが得られる。

ABSTRACT

The variance-based method of Sobol sensitivity indices is very popular among practitioners due to its efficiency and easiness of interpretation. However, for high-dimensional models the direct application of this method can be very time consuming and prohibitively expensive to use. One of the alternative global sensitivity analysis methods known as the method of derivative based global sensitivity measures (DGSM) has recently become popular among practitioners. It has a link with the Morris screening method and Sobol sensitivity indices. DGSM are very easy to implement and evaluate numerically. The computational time required for numerical evaluation of DGSM is generally much lower than that for estimation of Sobol sensitivity indices. We present a survey of recent advances in DGSM and new results concerning new lower and upper bounds on the values of Sobol total sensitivity indices. Using these bounds it is possible in most cases to get a good practical estimation of the values of Sobol total sensitivity indices. Several examples are used to illustrate an application of DGSM.

研究の動機と目的

• 導出に基づくグローバル感度測定（DGSM）を用いて、ソボルの全感度インデックス ($S_i^{\text{tot}}$) の計算的に効率的な境界を確立すること。
• 高次元モデルにおける分散に基づくグローバル感度分析の計算負荷を軽減すること。
• 直接的なソボルインデックス計算に比べてはるかに少ない関数評価回数で、$S_i^{\text{tot}}$ の実用的推定を可能にすること。
• DGSMの境界が多様なテスト関数において真の $S_i^{\text{tot}}$ 値と比較して入力変数の順序付けを正しく行えるかどうかを検証すること。
• 非重要変数を固定することでモデル簡略化にDGSMをどのように活用できるかを示すこと。

提案手法

• 偏微分の期待絶対値に基づくDGSMを用いて、$S_i^{\text{tot}}$ の下限および上限を導出する。
• モンテカルロ（MC）または準モンテカルロ（QMC）統合を用いて、DGSMおよびその境界を数値的に推定する。
• 関数評価コストの4〜6倍で偏微分を効率的に計算できる、逆方向（アドジョイント）モードのアルゴリズム的微分を適用する。
• DGSMとソボルインデックスの理論的関連を確立し、DGSMが $S_i^{\text{tot}}$ の上界として機能することを示す。
• 同一の微分評価セットを用いて、下限（LB1, LB2）および上限（UB1, UB2）を $S_i^{\text{tot}}$ に対して同時に推定する。
• 多項式、積関数、ハーツマン関数を含むベンチマーク関数を用い、異なる入力分布における境界の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DGSMは、著しく低い計算コストでソボルの全感度インデックスの信頼性のある下限および上限を提供できるか？
• RQ2 真の $S_i^{\text{tot}}$ 値と比較して、DGSMに基づく境界の入力変数の順序付けの正確さはいかほどか？
• RQ3 DGSMを用いて非重要変数を特定・固定し、モデル簡略化にどの程度活用できるか？
• RQ4 サンプルサイズの観点から、DGSM境界の収束特性と直接的な $S_i^{\text{tot}}$ 評価の収束特性はどのように異なるか？
• RQ5 線形関数、積関数、非線形関数など、さまざまなタイプのモデルにおいて境界はどの程度有効か？

主な発見

• 入力パラメータ $a = [0,1,4.5,9,99,99,99,99]$ を持つテスト関数において、下限LB2および上限UB1, UB2は、すべての入力変数の重要度順序を正しく特定できる。
• 比 $S_i^{\text{tot}} / \text{UB1} = \pi^2 / 48 \approx 0.204$ および $S_i^{\text{tot}} / \text{UB2} = 0.25$ であり、UB2がUB1よりもタイトであることが示唆される。
• ハーツマン関数では、大多数の入力変数について LB1 < LB2 < $S_i$ が成り立つが、$x_2$ については LB1 > $S_i$ > LB2 となり、境界の性質が変数依存的であることが明らかになった。
• LB2の収束速度は $S_i^{\text{tot}}$ や UB1よりも高く、同じサンプル数でより低いRMSEを達成する。
• すべての境界を計算するには $N_F^{\text{LB}*} = N(3d+1)$ 回の関数評価が必要であるが、$S_i^{\text{tot}}$ および UB の計算には $N(d+1)$ 回で十分であり、高次元問題では境界計算がより効率的である。
• 小さな上限値は $S_i^{\text{tot}}$ が小さいことを示唆し、非重要変数の早期同定が可能となり、モデル簡略化に有効である。