[論文レビュー] Derivative for the intersection local time of fractional Brownian Motions

Litan Yan|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、指数 $ H_1, H_2 \in (0,1) $ を持つ2つの独立な分数 Browndian 動径（fBm）の交差局所時刻の微分可能性を確立し、$ \frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} > 3 $ のとき空間的微分が存在することを証明する。本稿ではハイブリッド2次共分散を導入し、この共分散と交差局所時刻の微分を結ぶボレウ＝ヨール型の恒等式を示し、これは $ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合、構築されたバナッハ空間における関数に対して、また $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ の場合、$ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ の Hölder 連続関数に対して有効である。この結果は、マルコフ的でない、長-range 依存性を有する自己相似過程への古典的 It\'o 微積分の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $B^{H_1}$ and $ ilde{B}^{H_2}$ be two independent fractional Brownian motions on ${\mathbb R}$ with respective indices $H_i\in (0,1)$ and $H_1\leq H_2$. In this paper, we consider their intersection local time $\ell_t(a)$. We show that $\ell_t(a)$ is differentiable in the spatial variable if $\frac1{H_1}+\frac1{H_2}&gt;3$, and we introduce the so-called {\it hybrid quadratic covariation} $[f(B^{H_1}- ilde{B}^{H_2}),B^{H_1}]^{(HC)}$. When $H_1\frac{2H_1-1}{H_1}$.

研究の動機と目的

• 2つの独立な分数 Browndian 動径 $ B^{H_1} $ と $ \tilde{B}^{H_2} $ について、指数 $ H_1 \leq H_2 $ を持つ交差局所時刻 $ \ell_t(a) $ の空間変数 $ a $ における微分可能性を調査すること。
• 非半マルコフ過程のための It\'o 型共分散の一般化として、ハイブリッド2次共分散 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t$ を定義し、その性質を検討すること。
• ハイブリッド2次共分散と交差局所時刻の微分を結ぶボレウ＝ヨール型の恒等式を確立すること、すなわち $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t = -\int_{\mathbb{R}} f(a) \ell_t'(a) da $。
• ハイブリッド2次共分散が $ L^2(\Omega) $ で存在するように、可測関数のバナッハ空間 $ \mathscr{H} $ を構成すること、$ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合に限る。
• $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ の場合に恒等式を拡張し、$ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ の Hölder 連続関数に対してその存在を示すこと。

提案手法

• 本稿は、シュワーツ分布の意味でのデルタ関数の微分を用いて、交差局所時刻の微分を $ \ell_t'(a) = -\int_0^t \int_0^s \delta'(B_r^{H_1} - \tilde{B}_s^{H_2} - a) dr ds $ として定義する。
• ハイブリッド2次共分散は、$ \lim_{\varepsilon \to 0} J_\varepsilon(H_1, H_2, t, f) $ として定義され、ここで $ J_\varepsilon $ は $ B^{H_1} $ の増分と、ずらされた位置における $ f $ の差分を含む。
• $ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合、本手法はマルコフの微積分と $ L^2 $-推定を用いた $ J_\varepsilon $ の分解に基づき、$ L^2(\Omega) $ での収束を保証するバナッハ空間 $ \mathscr{H} $ を構成する。
• $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ の場合、本手法はフーリエ解析と、$ e^{-\kappa (\sum \xi_k'')^2 s^{2H_2}} $ を含む振動的積分の $ L^p $-ノルム推定に基づく新しいアプローチに依存し、慎重な置換と測度制御が施される。
• 証明は、fBm の自己相似性に関連する指数的減衰項の積である $ \Lambda_1 $ と $ \Lambda_2 $ に対する反復積分と推定を用いたマルチスケール解析を用いる。
• 共役指数 $ p, q $ を用いた Hölder の不等式を適用し、$ x_j = \sum_{k=1}^j \xi_k' $ の置換を用いて、$ |\xi_j| $ の $ |x_j| $ に関する成長を制御し、可積分性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差局所時刻 $ \ell_t(a) $ が空間変数 $ a $ に関して微分可能となる $ H_1 $ と $ H_2 $ の条件は何か？
• RQ2 関数 $ f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}) $ と $ B^{H_1} $ 間でハイブリッド2次共分散を定義でき、$ L^2(\Omega) $ で収束する条件は何か？
• RQ3 ハイブリッド2次共分散に対してボレウ＝ヨール型の恒等式が成り立つか？ そして、それは $ f(a) \ell_t'(a) $ の積分とどのように関係するか？
• RQ4 $ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合、どの関数クラス $ f $ がハイブリッド2次共分散が $ L^2(\Omega) $ で存在することを保証するか？
• RQ5 $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ の場合、恒等式の有効性を保証する $ f $ の正則性条件（例：Hölder 連続性）は何か？

主な発見

• 交差局所時刻 $ \ell_t'(a) $ の微分が空間変数 $ a $ に対して存在するための必要十分条件は $ \frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} > 3 $ であり、これが微分可能性の主たる条件である。
• $ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合、可測関数のバナッハ空間 $ \mathscr{H} $ が存在し、すべての $ f \in \mathscr{H} $ に対してハイブリッド2次共分散 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t$ が $ L^2(\Omega) $ で存在する。
• $ H_1 < \frac{1}{2} $ の場合、すべての $ f \in \mathscr{H} $ に対してボレウ＝ヨール型の恒等式 $[f(B^{H_1} - \tilde{B}^{H_2}), B^{H_1}]^{(HC)}_t = -\int_{\mathbb{R}} f(a) \ell_t'(a) da $ が成り立つ。
• $ H_1 \geq \frac{1}{2} $ の場合、恒等式はすべての $ \nu > \frac{2H_1 - 1}{H_1} $ の Hölder 連続関数 $ f $ に対して成り立ち、結果をより広い関数クラスに拡張する。
• 証明は、$ e^{-\kappa (\sum \xi_k'')^2 s^{2H_2}} $ を含む振動的積分の $ L^p $-推定に依存し、$ (1 + (t'-t)|x|^{1/H})^{-1} $ の減衰率によって制御され、可積分性が保証される。
• 最終的な推定では、$ \widetilde{\Lambda}(t,t',n,\gamma) \leq C(t'-t)^{n\beta} $ が得られ、$ \beta = \frac{1}{H_1}(\alpha(H_1 + H_2) - H_2) $ であり、$ \frac{H_2}{H_1 + H_2} < \alpha < 1 $ の範囲で有効である。これは必要な Hölder 連続性を確認する。