[論文レビュー] Derivative formula and gradient estimate for SDEs driven by $α$-stable processes

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、$\alpha$-安定過程によって駆動される非線形SDEに対して、劣化ブラウン運動を用いて、Bismut-Elworthy-Li型の微分公式と関連する勾配推定を確立する。主な貢献は、逆安定サブディレーターを含む新しい微分公式と、$t^{-1/\alpha}$ の減衰を示す勾配推定であり、$\alpha \in (1,2)$ のとき、$\alpha$-安定ノイズを伴うSPDEの強Feller性を示す。

ABSTRACT

In this paper we prove a derivative formula of Bismut-Elworthy-Li's type as well as gradient estimate for stochastic differential equations driven by $α$-stable noises, where $α\in(0,2)$. As an application, the strong Feller property for stochastic partial differential equations driven by subordinated cylindrical Brownian motions is presented.

研究の動機と目的

• 非ガウス分布で重い尾を持つ$\alpha$-安定過程によって駆動されるSDEに、Bismut-Elworthy-Li型の微分公式を拡張すること。
• このようなSDEの遷移半群に対して明示的な$t^{-1/\alpha}$ 減衰を示す勾配推定を確立すること。
• 導出された推定を用いて、円形$\alpha$-安定過程によって駆動される半線形SPDEの強Feller性を証明すること。
• 2次モーメントの欠如や非退化性の欠如により、先行研究が$\alpha$-安定過程を除外していたという制限を克服すること。

提案手法

• ElworthyとLiのマルティングルール・アプローチを、$\alpha/2$-安定サブディレーター$S_t$ を用いた劣化ブラウン運動に適応して微分公式を導出する。
• SDE $dX_t(x) = b_t(X_t(x))dt + \sigma dW_{S_t}$ を用いる。ここで$W_{S_t}$ は時間変換されたブラウン運動である。
• 方向微分の表現 $\nabla_h \mathbb{E}f(X_t(x)) = \mathbb{E}\left(\frac{1}{S_t} f(X_t(x)) \int_0^t \sigma^{-1} \cdot \nabla_h X_s(x) dW_{S_s}\right)$ を用いる。
• 勾配推定 $|\nabla \mathbb{E}f(X_t(x))| \leq C \|\sigma^{-1}\| e^{\|\nabla b\|_{\infty} t} t^{-1/\alpha} (\mathbb{E}|f(X_t(x))|^p)^{1/p}$ を確立する。ここで $p \in (1,\infty]$ である。
• 有限次元近似として射影 $\Pi_n$ を用い、コンパクトネスの議論を適用して、無限次元SPDEに結果を拡張する。
• 推定を円形$\alpha$-安定ノイズを伴うSPDEに適用し、リプシッツまたは有界なドリフト条件の下で強Feller性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次モーメントを欠く$\alpha$-安定過程によって駆動されるSDEに対して、Bismut-Elworthy-Li型の微分公式を確立できるか？
• RQ2 このような非ガウス的設定において、遷移半群の勾配の時間的減衰の正確な割合は何か？
• RQ3 導出された勾配推定は、$\alpha$-安定ノイズを伴うSPDEの強Feller性を示すか？
• RQ4 拡散過程から$\alpha$-安定Lévy過程によって駆動されるジャンプ拡散過程への微分公式は、どのように適応できるか？

主な発見

• 新しい微分公式が導出された：$\nabla_h \mathbb{E}f(X_t(x)) = \mathbb{E}\left(\frac{1}{S_t} f(X_t(x)) \int_0^t \sigma^{-1} \cdot \nabla_h X_s(x) dW_{S_s}\right)$、$\alpha \in (0,2)$ に対して有効。
• 鋭い勾配推定が得られた：$|\nabla \mathbb{E}f(X_t(x))| \leq C \|\sigma^{-1}\| e^{\|\nabla b\|_{\infty} t} t^{-1/\alpha} (\mathbb{E}|f(X_t(x))|^p)^{1/p}$、明示的な$t^{-1/\alpha}$ 減衰を示す。
• リプシッツドリフトの下で、$\alpha \in (1,2)$ のとき、円形$\alpha$-安定過程によって駆動されるSPDEの強Feller性が確立された。
• 有限次元近似と確率的収束を用いて、無限次元SPDEへと結果を拡張した。
• 有界およびリプシッツドリフトの両方の状況に適用可能であり、Duhamelの公式および優越収束定理・Fatouの補題を用いて収束を確立した。