[論文レビュー] Derivative pricing with virtual arbitrage

Kirill Ilinski, A. S. Stepanenko|ArXiv.org|Feb 3, 1999

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、指数的減衰を伴う確率過程としてリターンをモデル化することにより、一時的な仮想アービトラージ機会を組み込んだ修正されたデリバティブ価格設定モデルを提案する。これはブラック・ショールズモデルを一般化する積分微分方程式を導出し、市場の即時是正またはアービトラージなしの極限において、元のブラック・ショールズ方程式が回復することを示している。ヨーロピアン・コールおよびプット・オプションの明示的解析的補正が導出され、1次補正はアービトラージの減衰率とボラティリティに依存する。

ABSTRACT

In this paper we derive an effective equation for derivative pricing which accounts for the presence of virtual arbitrage opportunities and their elimination by the market. We model the arbitrage return by a stochastic process and find an equation for the average derivative price. This is an integro-differential equation which, in the absence of the virtual arbitrage or for an infinitely fast market reaction, reduces to the Black-Scholes equation. Explicit formulas are obtained for European call and put vanilla options.

研究の動機と目的

• 既存のデリバティブ価格設定モデルが完全なアービトラージなし条件を仮定しているが、実証的証拠により一時的な仮想アービトラージ機会が存在することが示されているという限界を是正すること。
• 金融市場における局所的アービトラージ機会の有限寿命および減衰を組み込む、取り扱い可能な解析的フレームワークを構築すること。
• 仮想アービトラージが存在しない、または即時に排除される場合に、元のブラック・ショールズ方程式に還元される修正された価格設定方程式を導出すること。
• 仮想アービトラージの影響下でのヨーロピアン・バニラ・オプションの価格に対して、明示的な解析的公式を提供すること、1次補正を含む。

提案手法

• 表記および基本的仮定を確立するため、リスクフリー・ポジションのアプローチを用いてブラック・ショールズ方程式を再導出する。
• 仮想アービトラージの即時のリターンを、市場参加者のアービトラージ活動を表すレートλで指数的減衰する確率過程としてモデル化する。
• 過去のアービトラージイベントが現在のデリバティブ価格に与える影響を捉えるカーネル関数K(t, t′)を導入し、減衰ダイナミクスから得る。
• Σ²/λを小さなパラメータとする摂動理論を用いて、ブラック・ショールズ解に対する1次補正を導出する。
• 結果として得られる積分微分方程式を、ブラック・ショールズ作用素のグリーン関数とカーネルKを含む積分として表現することで解く。
• 補正項を時間積分することでヨーロピアン・コールおよびプット・オプションの価格の明示的公式を導出し、減衰率λおよびボラティリティσに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密なアービトラージなし仮定に依存せずに、デリバティブ価格設定フレームワーク内で一時的な仮想アービトラージ機会を一貫してモデル化する方法は何か？
• RQ2 有限寿命のアービトラージ機会は、特に短期的にヨーロピアン・オプションの価格にどのような影響を与えるか？
• RQ3 仮想アービトラージの是正速度（λで特徴づけられる）は、ブラック・ショールズ価格からのずれにどのように影響するか？
• RQ4 アービトラージが存在するが時間とともに減衰する場合に、取り扱い可能な解析的解を導出できるか？
• RQ5 仮想アービトラージによるブラック・ショールズ価格への1次補正の形は何か？また、残存期間とボラティリティにどのように依存するか？

主な発見

• 提案されたモデルは、ブラック・ショールズ方程式を一般化する積分微分方程式を導出し、アービトラージなしまたは市場反応が無限に速い極限において、元のブラック・ショールズ方程式に還元されることを示している。
• ヨーロピアン・コールおよびプット・オプションのブラック・ショールズ価格に対する1次補正が明示的に導出され、アービトラージ減衰率λ、ボラティリティσ、および無リスク金利rに依存する。
• ヨーロピアン・コール・オプションの場合、補正項C₁(t,y)はe^(-r(T-t))に比例し、正規累積分布関数N[d₂]を指数的減衰因子で重み付けした時間積分を含む。
• ヨーロピアン・プット・オプションの場合、補正項P₁(t,y)はC₁と同一の関数的形を示し、符号が負で、累積分布関数にN[-d₂]が用いられる。
• 非常に速いアービトラージ是正（γ → ∞）の極限において、補正項は時間積分に簡略化され、単一の指数的減衰因子e^(-(λ + α²/(2σ²))τ)を含む。
• λ → ∞（即時是正）またはΣ² → 0（アービトラージなし）の極限で補正項が消えることから、標準的ブラック・ショールズモデルとの一貫性が確認される。