[論文レビュー] Derivatives characterization of Bergman-Orlicz spaces and applications

Benoît F. Sehba|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自然な凸性および成長条件の下で、Bergman-Orlicz空間に対する全微分の特徴付けを確立することにより、古典的なHardy型Bergman空間の特徴付けをBergman-Orlicz空間へと拡張する。具体的には、正則関数のBergman-Orlicz空間への属する条件が、その不変勾配、ユークリッド勾配、または径方向微分の、$(1-|z|^2)$による重み付き積分が対応するOrliczノルムで可積分であることと同値であることを示す。主な貢献は、Orlicz関数の自然な凸性と成長条件のもとで、Bergman-Orlicz空間に対する完全な微分特徴付けを確立したことにより、補間理論およびCesàro作用素理論への応用が可能になることである。

ABSTRACT

It is well known that a function is in a Bergman space of the unit ball if and only if it satisfies some Hardy-type inequalities. We extend this fact to Bergman-Orlicz spaces. As applications, we obtain Gustavsson-Peetre interpolation of two Bergman-Orlicz spaces and we completely characterize symbols of bounded or compact Cesàro-type operators on Bergman-Orlicz spaces, extending known results for classical weighted Bergman spaces.

研究の動機と目的

• Bergman空間の古典的微分特徴付けをBergman-Orlicz空間へ一般化すること。
• 不変勾配、ユークリッド勾配、径方向微分を用いた、正則関数がBergman-Orlicz空間に属するための同値条件を確立すること。
• この特徴付けを用いて、補間理論およびBergman-Orlicz空間上での作用素論的問題を解くこと。
• Bergman-Orlicz空間上での有界およびコンパクトなCesàro型作用素の記号を完全に特徴付けること。

提案手法

• 成長関数 $\Phi$ に関連するLuxemburg型ノルムを用いて、Bergman-Orlicz空間 $\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$ を定義する。
• 上界および下界の型条件を満たすOrlicz関数のクラス $\mathscr{U}^q$ および $\mathscr{L}_p$ を導入する。
• $f \in \mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$ と、$|\widehat{\nabla}f(z)|$、$(1-|z|^2)|\nabla f(z)|$、$(1-|z|^2)|\mathcal{R}f(z)|$ が $L^\Phi(\mathbb{B}^n, d\nu_\alpha)$ で可積分であることが同値であることを確立する。
• 境界付近における導関数の成長を制御するため、点ごとの推定および補函数の性質を用いる。
• 特徴付けを応用して、コンパクト部分集合上で一様収束する列に関するノルム推定および収束性を用いて、Cesàro型作用素の有界性およびコンパクト性を証明する。
• Gustavsson-Peetre補間理論を用いて、二つのBergman-Orlicz空間間の補間空間を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Orlicz関数 $\Phi$ がどのような条件下に、正則関数の $\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$ への属する条件が、その不変勾配の $L^\Phi(\mathbb{B}^n, d\nu_\alpha)$ における可積分性と同値になるか。
• RQ2 古典的なBergman空間の微分特徴付けを、径方向またはユークリッド勾配を用いてBergman-Orlicz空間へ拡張できるか。
• RQ3 Cesàro型作用素 $T_g$ が $\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$ 上で有界またはコンパクトであるための、記号 $g$ の明確な条件は何か。
• RQ4 Gustavsson-Peetre補間法はBergman-Orlicz空間にどのように適用可能であり、その結果得られる補間空間は何か。
• RQ5 $\Phi$ の上界および下界の型指数が、さまざまな微分特徴付けの同値性に果たす役割は何か。

主な発見

• Orlicz関数 $\Phi \in \mathscr{U}^q \cup \mathscr{L}_p$ の下で、次の4条件が同値であることを確立した：$f \in \mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$、$|\widehat{\nabla}f| \in L^\Phi(\mathbb{B}^n, d\nu_\alpha)$、$(1-|z|^2)|\nabla f(z)| \in L^\Phi(\mathbb{B}^n, d\nu_\alpha)$、$(1-|z|^2)|\mathcal{R}f(z)| \in L^\Phi(\mathbb{B}^n, d\nu_\alpha)$。
• Cesàro型作用素 $T_g$ の有界性は、条件 $\int_{\mathbb{B}^n} \Phi\left( \frac{(1-|z|^2)|\mathcal{R}g(z)|}{\|g\|_{\Phi,\alpha}^{lux}} \right) d\nu_\alpha(z) \lesssim 1$ によって特徴付けられる。与えられた仮定のもとで、これは $g \in \mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}(\mathbb{B}^n)$ と同値である。
• コンパクト性は、任意の列 $\{f_j\}$ がコンパクト部分集合上で一様にゼロに収束するとき、$\|T_g f_j\|_{\Phi,\alpha}^{lux} \to 0$ ($j \to \infty$) となるというより強い条件によって特徴付けられる。
• 二つのBergman-Orlicz空間 $\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi_0}$ と $\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi_1}$ 間のGustavsson-Peetre補間法による補間空間は、$\mathcal{A}_{\alpha}^{\Phi}$ に一致する。ここで $\Phi$ は関連する補間関数である。
• 証明は、補函数 $\Psi$ と $\Delta_2$-条件を用いて $\Phi$ の成長を制御し、Luxemburgノルムが微分条件のもとで適切に振る舞うことを保証する。
• 既知の古典的重み付きBergman空間（$\Phi(t) = t^p$）に対する特徴付けを、$\mathscr{U}^q \cup \mathscr{L}_p$ に属する全Orlicz関数クラスへと一般化し、微分に基づく特徴付けの適用範囲を拡張した。