[論文レビュー] Derivatives of Eisenstein series and Faltings heights

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半整数重のイzekstein級数のs = 1/2における第二導関数（関数等式における非中心点）と、算術的シムーラ曲線上のヒーゲナー周期の算術的高さとの間の明確な関係を確立する。生成関数としての算術的高さが、SL2(Z) における重さ3/2のイzekstein級数の導関数に等しく、定数項のずれを伴うことを証明し、その結果、ローラン展開の第二項がCMアーベル・サーフェスのファルティングス高さの観点から、新たな幾何的解釈を可能にする。

ABSTRACT

We prove a relation between a generating series for the heights of Heegner cycles on the arithmetic surface associated to a Shimura curve and the second term in the Laurent expansion at s=1/2 of an Eisenstein series of weight 3/2 for SL(2). On the geometric side, a typical coefficient of the generating series involves the Faltings heights of abelian surfaces isogenous to a product of CM elliptic curves, an archimedean contribution, and contributions from vertical components in the fibers of bad reduction. On the analytic side, these terms arise via the derivatives of local Whittaker functions. It should be noted that s=1/2 is not the central point for the functional equation of the Eisenstein series in question. Moreover, the first term of the Laurent expansion at s=1/2 coincides with the generating function for the degrees of the Heegner cycles on the generic fiber, and, in particular, does not vanish.

研究の動機と目的

• 半整数重のイzekstein級数のローラン展開における第二項と、算術的シムーラ曲線上のヒーゲナー周期の算術的高さとの間の対応関係を確立すること。
• 算術的高さの生成関数が、関数等式における非中心点s = 1/2におけるイzekstein級数の導関数から生じることを示すこと。
• s = 1/2におけるローラン展開の非ゼロ最初の項を、CMアーベル・サーフェスのファルティングス高さを用いて幾何学的に解釈すること。
• フーリエ係数と算術的不変量との既知の対応関係を、ローラン展開の最初の項が非ゼロとなる場合にまで拡張すること。

提案手法

• シムーラ曲線に関連する算術的表面M上の算術的チャウ類 ˆZ(m,v) を、代数的サイクルZ(m)とグリーン関数Ξ(m,v)を組み合わせることで定義する。
• M上の普遍アーベル多様体上の正則1形式を用いて、ホッジバンドルωに標準的計量||·||を導入する。
• ギレット–スールェの高さペアリングを用いて、高さ生成関数φheight(τ) = ∑⟨ˆZ(m,v), ˆω⟩qm を構成する。
• SL2(Z) に対する重さ3/2のイzekstein級数E(τ,s;D)の族を構成する。ここでD = D(B)はクaternion代数Bの判別式である。
• E(τ,s;D(B))のs = 1/2におけるローラン展開を計算し、第二導関数E′(τ,1/2;D(B))が算術的高さの生成関数に一致することを特定する。
• クラス数、L関数、対数項を含むフーリエ係数の直接計算を通じて、主恒等式φheight(τ) = E′(τ,1/2;D(B)) + cを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数等式における非中心点s = 1/2における半整数重イzekstein級数のローラン展開の第二項に、算術的意味は何か？
• RQ2 算術的シムーラ曲線上のヒーゲナー周期の高さは、イzekstein級数のフーリエ係数とどのように関係するか？
• RQ3 s = 1/2におけるイzekstein級数のローラン展開の非ゼロ最初の項は、CMアーベル・サーフェスのファルティングス高さを用いて幾何学的に解釈可能か？
• RQ4 第一項が非ゼロである場合を含めても、シムーラ多様体の算術的不変量とイzekstein級数のローラン展開との間には、一般的なパターンが存在するか？

主な発見

• 算術的シムーラ曲線M上のヒーゲナー周期の算術的高さの生成関数は、定数項のずれを除いて、イzekstein級数E(τ,s;D(B))のs = 1/2における導関数に等しい。
• m > 0におけるE′(τ,1/2;D(B))のqmの係数は、δ(d;D(B))、H0(m;D(B))、log(d)、L′(1,χd)/L(1,χd)、およびD(B)を割るか割らない素数に関する対数項を含む複雑な式で与えられる。
• 係数式の主要項は、CM楕円曲線Ed × Edのファルティングス高さh∗Fal(Ed × Ed) = 1/2 log(d) + L′(1,χd)/L(1,χd) − 1/2 log(π) − 1/2γに一致する。
• m < 0の場合、導関数におけるqmの係数は非ゼロであり、r > 1における積分を含み、関数Ψℓ(s,z)を介して高さペアリングに寄与する。
• 正規化されたイzekstein級数に対して、関数等式E(τ,s;D) = E(τ,−s;D)が確立され、L関数の関数等式およびガンマ関数の倍積分公式に依拠する。
• E(τ,s;D)のフーリエ展開における定数項が、GD(s) + GD(−s)に比例することを示し、ここでGD(s)は完備L関数とDを割る素数における局所因子を含む。