[論文レビュー] Derivatives of Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters

V. Bytev, Bernd A. Kniehl+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 34被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、パラメータに関してホルン型超幾何関数の導関数を明示的に導出し、その導関数が1つの変数が追加された新たなホルン型超幾何級数を生じることを示している。主な貢献は、フェルミオン図の次元正則化におけるε展開を、一般化超幾何関数のパラメータ微分を用いて体系的に計算可能にする一般式の確立である。

ABSTRACT

We consider the derivatives of Horn hypergeometric functions of any number variables with respect to their parameters. The derivative of the function in $n$ variables is expressed as a Horn hypergeometric series of $n+1$ infinite summations depending on the same variables and with the same region of convergence as for original Horn function. The derivatives of Appell functions, generalized hypergeometric functions, confluent and non-confluent Lauricella series and generalized Lauricella series are explicitly presented. Applications to the calculation of Feynman diagrams are discussed, especially the series expansion in $\epsilon$ within dimensional regularization. Connections with other classes of special functions are discussed as well.

研究の動機と目的

• ホルン型超幾何関数のパラメータに関する一般式を導出すること。
• アペル関数および一般化超幾何関数に関する既知の結果を、多変数および一般化ラウリチェッリ級数へと拡張すること。
• 高エネルギー物理学、特にフェルミオン図計算に適用可能な明示的な導関数公式を提供すること。
• パラメータ微分によるホルン型関数の導関数が、同じ収束型の新たな超幾何級数を生じることを確立し、次元正則化におけるε展開を容易にすること。

提案手法

• ポッホハマー記号の微分を用いて超幾何関数の1階微分を導出し、その結果をポリガンマ関数を含む級数として表現する。
• 一般化超幾何関数、アペル関数、一般化ラウリチェッリ級数にこの手法を適用し、微分が1つの変数が追加されたホルン型級数であることを示す。
• ポッホハマー記号の構造とスターリング数展開を用いて、パラメータ微分を体系的に取り扱う。
• 2重および多重和のインデックスを持つパラメータ（例：2m+n、qn）に対する結果を導出し、任意のパラメータ微分へと一般化する。
• 2変数のホルン関数（例：H3(a,b,c,x,y)）に対して、そのパラメータ微分を明示的に導出する。
• 導関数級数の収束領域が元の関数と同一であることを示し、解析的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルン型超幾何関数のパラメータに関する導関数を閉形式でどのように表現できるか？
• RQ2 一般化超幾何関数のパラメータに関する微分によって生じる特殊関数のクラスは何か？
• RQ3 アペル関数およびラウリチェッリ級数の微分がパラメータ微分によってどのように振る舞うか？
• RQ4 フェルミオン図のε展開を、超幾何関数のパラメータ微分から体系的に導出できるか？
• RQ5 導関数級数の収束領域は何か？また、元の関数とどのように関係するか？

主な発見

• n変数のホルン型超幾何関数のパラメータに関する導関数は、同じ収束領域を持つn+1変数のホルン型超幾何級数として表現可能である。
• 一般化超幾何関数およびアペル関数の1階微分は、カンペ・ド・フェリエ型関数として表現可能であることが示された。
• 一般化ラウリチェッリ級数およびホルン型関数（例：H3）に対して、任意のパラメータ微分が可能な明示的な導関数公式が導出された。
• この手法により、超幾何表現をパラメータに関して微分することで、次元正則化におけるフェルミオン積分のε展開を構成可能である。
• 導関数級数の収束領域は元の関数と同一であり、解析的一致性が保証される。
• 本結果により、微分還元技術を用いてフェルミオン積分を無限和の少ない基本超幾何関数に体系的に還元するフレームワークが提供された。