[論文レビュー] Derivatives pricing using signature payoffs

Imanol Pérez Arribas|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、基礎資産の価格経路のシグネチャの線形汎関数として定義されるシグネチャ・ペイオフを導入する。シグネチャ・ペイオフが連続的経路依存ペイオフの空間において稠密であることに着目し、100本のシミュレートされた経路と4次の切断シグネチャを用いることで、ヨーロピアン、アメリカン、アジア、ルックバック、ボラティリティ・スワップなど複雑なデリバティブの公平価格をR² > 0.99999の高精度で近似可能である。

ABSTRACT

We introduce signature payoffs, a family of path-dependent derivatives that are given in terms of the signature of the price path of the underlying asset. We show that these derivatives are dense in the space of continuous payoffs, a result that is exploited to quickly price arbitrary continuous payoffs. This approach to pricing derivatives is then tested with European options, American options, Asian options, lookback options and variance swaps. As we show, signature payoffs can be used to price these derivatives with very high accuracy.

研究の動機と目的

• パス・シグネチャの数学的構造を活用した、複雑な経路依存デリバティブの価格設定のための新規で効率的なフレームワークの開発。
• パス空間上の連続関数空間におけるシグネチャ・ペイオフの稠密性を活用し、金融における任意の連続的ペイオフの価格設定の課題に取り組む。
• シグネチャ・ペイオフが多様なデリバティブ商品に対して、高精度かつ低計算コストで普遍的近似ツールとして機能できることを示す。
• ブラック＝ショールズモデル下で実際のデリバティブ種目を用いて、最小限のトレーニングデータで本手法を経験的に検証する。

提案手法

• 価格経路のシグネチャを、時間に沿った反復積分の列として定義し、経路の全般的な幾何的・時間的構造を捉える。
• 価格経路の切断シグネチャ上での線形汎関数としてシグネチャ・ペイオフを導入し、既知のモデル下で高速かつ解析的に取り扱える価格設定を可能にする。
• 計算複雑性を低減しつつ近似精度を維持するため、n次（例：n=4）の切断シグネチャを用いる。
• ブラック＝ショールズなどから得たシミュレートされた市場経路を用い、線形回帰によりシグネチャ・ペイオフの線形汎関数係数を推定する。
• ブラック＝ショールズなどのモデルで解析的に取り扱える期待シグネチャを活用し、仮定されたモデル下での期待値を評価することでデリバティブの公平価格を計算する。
• 学習済みのシグネチャ・ペイオフ表現を用いて、さまざまなデリバティブのアウト・オブ・サンプル価格設定により本手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シグネチャ・ペイオフは、任意の連続的経路依存ペイオフを任意に良く近似できるか？
• RQ2 ヨーロピアン、アメリカン、アジア、ルックバック、ボラティリティ・スワップなどの標準的デリバティブを、シグネチャ・ペイオフがどの程度の精度で価格設定できるか？
• RQ3 切断シグネチャ（例：4次）を用い、最小限のトレーニングデータ（例：100本のシミュレートされた経路）でどの程度の精度が達成可能か？
• RQ4 同一のモデル仮定下で、さまざまなデリバティブ種目および残存期間に対して、本手法はどの程度スケーラブルか？
• RQ5 本フレームワークは、マルチアセットまたは配当支払いを行う標的資産へ、最小限の修正で拡張可能か？

主な発見

• シグネチャ・ペイオフは連続的経路依存ペイオフの空間において稠密であり、任意の連続的ペイオフ関数の普遍的近似が可能である。
• ヨーロピアン・コール・オプション、アメリカン・プット・オプション、アジア・オプション、ルックバック・オプション、ボラティリティ・スワップを含む、すべてのテスト対象デリバティブにおいて、公平価格の近似でR² > 0.99999を達成した。
• 100本のシミュレートされた市場経路と4次切断シグネチャ（121次元の線形汎関数）を用いることで、ほぼ完璧な予測精度が達成された。
• ブラック＝ショールズなどのモデル下で、期待シグネチャが解析的に取り扱えることを利用し、シグネチャ・ペイオフの公平価格を効率的に計算可能である。
• 本フレームワークは、パスの拡張をわずかに修正するだけでマルチアセット・デリバティブや配当支払いを行う標的資産へ拡張可能であり、ロバストで汎用的である。
• 各成分に対して事前にシグネチャ・ペイオフ表現を計算することで、デリバティブ・バスケットの高速価格設定が可能になる。