[論文レビュー] Derived algebraic geometry, determinants of perfect complexes, and applications to obstruction theories for maps and complexes

Timo Schürg, Bertrand Toën+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Deligne-Mumford スタックの擬滑らかさを満たす導来的増大を自然に備えた代数的幾何の枠組みを確立し、その枠組みにより、K3 表面やカルラビ＝ヤウ3次元多様体上の写像のモジュライおよび完全複体のモジュライに対して、関手的で完全な障害理論を構成する。特に、K3 表面への安定写像の削減された導来的モジュライスタックを構成し、その切断が Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas の削減された障害理論を回復する。これは半正則性写像に依存せず、グローバルな幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

We show how a quasi-smooth derived enhancement of a Deligne-Mumford stack X naturally endows X with a functorial perfect obstruction theory in the sense of Behrend-Fantechi. This result is then applied to moduli of maps and perfect complexes on a smooth complex projective variety. For moduli of maps, we consider X=S an algebraic K3-surface, $g\geq 0$, and $β$ a curve class, and we construct a derived stack whose truncation is the usual stack of pointed stable maps from curves of genus g to S hitting the class $β$, and such that the inclusion of the trunaction induces on a perfect obstruction theory whose tangent and obstruction spaces coincide with the corresponding reduced spaces of Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas. We give two further applications to moduli of complexes. For a K3-surface S we show that the stack of simple perfect complexes on S is smooth. This result was proved with different methods by Inaba for the corresponding coarse moduli space. Finally, we construct a map from the derived stack of stable embeddings of curves (into a smooth complex projective variety X) to the derived stack of simple perfect complexes on X with vanishing negative Ext's, and show how this map induces a morphism of the corresponding obstruction theories when X is a Calabi-Yau threefold. An important ingredient of our construction is a perfect determinant map from the derived stack of perfect complexes to the derived stack of line bundles whose tangent morphism is, pointwise, Illusie's trace map for perfect complexes. We expect that this determinant map might be useful in other contexts as well.

研究の動機と目的

• 導来的代数幾何を用いて、恣意的な選択を避け、幾何的かつ関手的な完全障害理論の構成を提供すること。
• 半正則性定理に依存せず、K3 表面への安定写像に対して削減された障害理論の存在を厳密に確立すること。
• K3 表面上の完全複体の導来的スタックが滑らかであることを示し、Inaba の結果をスタックのレベルにまで拡張すること。
• カルラビ＝ヤウ3次元多様体上の完全複体の導来的スタックへの、安定写像の導来的スタックからの写像を、障害理論と整合的に構成すること。
• 完全複体の導来的スタックからラインバンドルの導来的スタックへの、完全な決定的写像を導入・研究し、その接空間が Illusie のトレース写像に一致することを示すこと。

提案手法

• モジュライスタックの擬滑らかさを満たす導来的増大を用い、導来的代数幾何を通じて、自然な完全障害理論を誘導する。
• 導来的代数幾何における基本変換定理を適用し、導来的スタックの接複体と、Atiyah類のコホモロジーとの関係を確立する。
• K3 表面への安定写像の削減された導来的スタックを、導来的ピックスタックを適切なシフトされたベクトル空間への標準的射影で変形することで構成する。
• 完全複体の導来的スタックからラインバンドルの導来的スタックへの完全な決定的写像を定義し、その接写像が Illusie のトレース写像に一致することを示す。
• X が次元3のカルラビ＝ヤウ多様体であるとき、X への安定写像の導来的スタックを用いて、X 上の完全複体の導来的スタックへの写像を定義し、障害理論と整合的であることを保証する。
• 導来的基本変換同型を用い、導来的設定における複体の引き戻しと接空間との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3 表面への安定写像のモジュライに対して、半正則性写像に依存しない、導来的代数幾何を用いた幾何的完全障害理論を構成できるか？
• RQ2 K3 表面上の完全複体の導来的スタックは滑らかであるか？また、これと通常のモジュライ空間の関係は何か？
• RQ3 カルラビ＝ヤウ3次元多様体への安定写像の導来的スタックは、負のエクステント群が消える単純な完全複体の導来的スタックとどのように関係するか？
• RQ4 完全複体からラインバンドルへの決定的写像は、障害理論の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas の削減された障害理論は、導来的増大の切断として回復可能か？

主な発見

• K3 表面への安定写像の導来的スタック $\mathbb{R}\overline{\mathbf{M}}^{\textrm{red}}_{g}(S;\beta)$ は擬滑らかであり、その切断は通常のモジュライスタック $\overline{\mathbf{M}}_{g}(S;\beta)$ を回復する。
• 導来的増大を通じて誘導された障害理論は、$\overline{\mathbf{M}}_{g}(S;\beta)$ 上で、Okounkov-Maulik-Pandharipande-Thomas の削減された障害理論と完全に一致し、接空間と障害空間が同一である。
• K3 表面上の単純な完全複体のスタックは、導来的スタックとして滑らかであり、Inaba の通常のモジュライ空間に対する結果をスタックのレベルにまで拡張する。
• カルラビ＝ヤウ3次元多様体上の完全複体の導来的スタックへの、安定写像の導来的スタックからの写像は、障害理論の写像を誘導し、削減構造と整合的である。
• 完全複体の導来的スタックからラインバンドルの導来的スタックへの完全な決定的写像の接写像は、正確に Illusie のトレース写像に一致し、この古典的構成にグローバルな幾何的解釈を提供する。
• 本構成により、導来的スタックの写像と自然に整合する完全な関手的障害理論が得られ、Behrend-Fantechi の仮想引き戻しおよび関手性の結果を一般化する。