[論文レビュー] Derived geometry of the first formal neighborhood of a smooth analytic cycle

Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|May 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、微分可能解析的サイクルの1次無限小厚さにおける導来代数幾何学を用いた自己交叉を計算する。Hochschild-Kostant-Rosenberg同型の一般化を、厚さの上の任意の層へと拡張し、H^2(X, Hom(V, I⊗V))におけるコhomological障害を用いた形式性基準を確立することで、Arinkin-Căldăraruの結果を局所自由層の範囲を超えて拡張する。

ABSTRACT

If $X$ is a smooth scheme of characteristic zero or a complex analytic manifold, and $S$ is a locally split infinitesimal thickening of $X$, we compute explicitly the derived self-intersection of $X$ in $S$.

研究の動機と目的

• 滑らかなスキームまたは複素多様体の1次厚さにおいて、局所自由層を超える任意の層への導来自己交叉計算の一般化を図ること。
• ArinkinとCăldăraruの形式性基準を、厚さを施された環境上の任意の連接層へと局所自由層の範囲から拡張すること。
• 局所HKR類の内在的構成を提供し、H^2(X, Hom(V, I⊗V))における障害類と関連付けること。
• dgカテゴリにおけるモデルカテゴリ的技法を用いて、導来引き戻しの導来等化子記述を確立すること。
• 一般の層（特に局所自由でないもの）の文脈において、3つのコhomological障害（gerbe、切断三角形、Yoneda積）を統一すること。

提案手法

• 導来圏とdgカテゴリを用いて、厚さを施した空間Sから滑らかなサイクルXへの層の導来引き戻しをモデル化する。
• C^b(C) ⊗ C^b(C)^op上のToën-Vaquiéのモデル構造を適用し、ファイブレーション補完と導来函手を定義する。
• 対角写像 i_n: X → X^n 沿いの右導来引き戻し R𝑖_n^* を用いて導来等化子を構成し、導来幾何学におけるファイバー積をモデル化する。
• 繰り返しマッピングコーンとラックスモノイダル函手を用いて、有界複体上のdg自己函手を記述する。
• 八面体公理と導来等化子を用いて、切断三角形と障害類を同定する。
• Atiyah類とKodaira-Spencer類のYoneda積を用いて、H^2(X, Hom(V, I⊗V))における障害を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の連接層Vが1次厚さ上にあるとき、導来引き戻し Lj^*(j_*V) がいつ形式的になるか。
• RQ2 gerbe、切断三角形、Yoneda積という3つのコhomological障害が、局所自由でない一般の層に対しても一致する条件は何か。
• RQ3 モデル圏的技法を用いて、1次形式近傍における滑らかな解析的サイクルの導来自己交叉を明示的に計算できるか。
• RQ4 任意の厚さ上の層の文脈において、局所HKR類の内在的幾何的意味は何か。
• RQ5 R𝑖_n^* を用いた導来等化子構成は、導来交叉設定における導来引き戻しをどのように回復するか。

主な発見

• 導来引き戻し Lj^*(j_*V) が形式的であることと、VのAtiyah類と厚さのKodaira-Spencer類の合成が H^2(X, Hom(V, I⊗V)) で消えることは同値である。
• 任意のX上の連接層Vに対して、3つのコhomological障害（gerbe、切断三角形、Yoneda積）は自然に同型であり、Arinkin-Căldăraruの同型を局所自由でない層へと拡張する。
• n重対角写像 i_n: X → X^n の導来等化子は、dgモジュールのモデルカテゴリ構造を用いて、R𝑖_n^*(H^n) に同型である。
• 導来等化子 Δ̃_H^[n] から H^n への自然な写像は、dgモジュールのモデルカテゴリにおいて弱同値である。
• R𝑖_n^* を用いた導来自己交叉の構成は、繰り返しコーンとファイブレーション補完を用いて、Lj^*(j_*V) の自然な解体を与える。
• この結果は、特徴的ゼロの体上の代数的および解析的設定の両方で成り立ち、古典的HKR同型を1次厚さ上の任意の層へと一般化する。