[論文レビュー] Derived Hochschild functors over commutative adic algebras

Liran Shaul|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、noetherian 基底環上の adic 代数に対して、導来 Hochschild homology および cohomology の完全および torsion バージョンを、弱proregularity および DG-アフィン形式的スキームを用いて構築する。主な結果として、基底環が noetherian で、代数がその上に本質的に有限型であるとき、これらの導来ファンクターは noetherian 圈内で明示的な公式を有し、体を基底とする場合に古典的な同型が回復されることを示している。

ABSTRACT

Let $\k$ be a commutative ring, and let $(A,\mfrak{a})$ be an adic ring which is a $\k$-algebra. We study complete and torsion versions of the derived Hochschild homology and cohomology functors of $A$ over $\k$. To do this, we first establish weak proregularity of certain ideals in flat base changes of noetherian rings. Next, we develop a theory of DG-affine formal schemes, extending the Greenlees-May duality and the MGM equivalence to this setting. Finally, we define complete and torsion derived Hochschild homology and cohomology functors in this setting, and show that if $\k$ is noetherian and $(A,\mfrak{a})$ is essentially of finite type (in the adic sense) over $\k$, then there are formulas to compute them that stay inside the noetherian category. In the classical case, where $\k$ is a field, we deduce that topological Hochschild cohomology and discrete Hochschild cohomology are isomorphic.

研究の動機と目的

• commutative 環上の adic 代数の文脈に導来 Hochschild homology および cohomology を拡張すること。
• $\Bbbk \to A$ が平坦でない場合、通常 $A \otimes_{\Bbbk} A$ は noetherian でないという課題に対処すること、特に adic の文脈において。
• 適切な条件下で、noetherian 圈に留まる完全および torsion バージョンの導来 Hochschild ファンクターを定義すること。
• DG-アフィン形式的スキームの文脈で双対性および MGM 同型を確立すること。
• 体を基底とする場合に、位相的および離散的 Hochschild cohomology が同型であることを示すこと。

提案手法

• $\Bbbk$ が noetherian で、$(A,\mathfrak{a})$ が $\Bbbk$ 上本質的に有限型であるとき、$A \otimes_{\Bbbk} A$ 内の理想 $\mathfrak{a}^e = \mathfrak{a} \otimes_{\Bbbk} A + A \otimes_{\Bbbk} \mathfrak{a}$ が弱proregular であることを証明すること。
• Greenlees-May 双対性および MGM 同型をこの文脈に拡張するため、DG-アフィン形式的スキームの理論を構築すること。
• 完全導来 Hochschild homology を、$\mathfrak{a}$-完全導来圏値の $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ として定義すること。
• Torsion 導来 Hochschild homology を、$\mathfrak{a}$-torsion 導来圏値の $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ として定義すること。
• K-インジェクティブ解体および導来完全化ファンクターを用いて、torsion ファンクターと完成環 $\widehat{A \otimes_{\Bbbk} A}$ 上の導来 torsion を関係づけること。
• 弱proregularity の仮定の下で、同型 $\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来 Hochschild ファンクターは、noetherian 基底環上の adic 代数へ意味的に拡張可能か？
• RQ2 導来 torsion または完成化が、有限性を保ち、明示的な計算を可能にするための条件は何か？
• RQ3 DG-アフィン形式的スキームの文脈で、Greenlees-May 双対性に類似した双対性または同型は存在するか？
• RQ4 体上の形式的べき級数環上の導来 Hochschild cohomology は、位相的バージョンと一致するか？
• RQ5 torsion および完全導来 Hochschild ファンクターは、noetherian 圈内での公式を用いて計算可能か？

主な発見

• $\Bbbk$ が noetherian で、$(A,\mathfrak{a})$ が $\Bbbk$ 上本質的に有限型であるとき、$A \otimes_{\Bbbk} A$ 内の理想 $\mathfrak{a}^e \subseteq A \otimes_{\Bbbk} A$ は弱proregular である。これにより、Greenlees-May 理論の適用が可能になる。
• Torsion 導来 Hochschild homology ファンクターは明示的な公式を有する：$\mathrm{R}\Gamma_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-)) \cong A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Lambda_I(\widetilde{A} \otimes_{\Bbbk} \widetilde{A})} \mathrm{R}\Gamma_I(\mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$。
• $\Bbbk$ が体であるとき、導来 Hochschild cohomology と位相的 Hochschild cohomology は同型であり、位相的設定における古典的結果が回復される。
• 完全導来 Hochschild homology ファンクターは、$\mathfrak{a}$-完全導来圏値の $\mathrm{L}\Lambda_{\mathfrak{a}}(A \otimes^{\mathrm{L}}_{A \otimes^{\mathrm{L}}_{\Bbbk} A} \mathrm{R}\operatorname{Hom}_{\Bbbk}(-,-))$ として定義される。
• 弱proregularity のおかげで、$A \otimes_{\Bbbk} A$ 上での導来 torsion および完成ファンクターはよく振る舞い、無限大双対 Koszul コクレットを用いた明示的計算が可能になる。
• MGM 同型および Greenlees-May 双対性を adic 設定に拡張するため、DG-アフィン形式的スキームの理論が構築された。