[論文レビュー] Deriving peridynamic influence functions for one-dimensional elastic materials with periodic microstructure

Xiao Xu, John T. Foster|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元の弾性材料における周期的微細構造をもつ系に対して、多項式アンザッツを用いて微細スケールの弾性動力学方程式を均質化することにより、物理的根拠に基づくペルチッドダイナミクス影響関数を導出する手法を提案する。得られた離散的影響関数は微細構造の特性から導かれるが、標準的な線形減衰型影響関数と比較して、波動ダイナミクスの予測精度が著しく向上する。高次多項式近似を用いることでさらに精度が向上し、計算効率を維持したままとなる。

ABSTRACT

The influence function in peridynamic material models has a large effect on the dynamic behavior of elastic waves and in turn can greatly effect dynamic simulations of fracture propagation and material failure. Typically, the influence functions that are used in peridynamic models are selected for their numerical properties without regard to physical considerations. In this work, we present a method of deriving the peridynamic influence function for a one-dimensional initial/boundary value problem in a material with periodic microstructure. Starting with the linear local elastodynamic equation of motion in the microscale, we first use polynomial anzatzes to approximate microstructural displacements and then derive the homogenized nonlocal dynamic equation of motion for the macroscopic displacements; which, is easily reformulated as linear peridyamic equation with a discrete influence function. The shape and localization of the discrete influence function is completely determined by microstructural mechanical properties and length scales. By comparison with a highly resolved microstructural finite element model and the standard linear peridynamic model with a linearly decaying influence function, we demonstrate that the influence function derived from microstructural considerations is more accurate in predicting time dependent displacements and wave dynamics.

研究の動機と目的

• ヒューリスティックな選択ではなく、微細構造力学に基づいてペルチッドダイナミクス影響関数を体系的に導出する手法の開発。
• 不均質材料における時間依存変位および波動伝播を予測するペルチッドダイナミクスシミュレーションの精度を向上させること。
• 微細構造に基づく影響関数が、波動ダイナミクスにおいて標準的な線形減衰カーネルを上回ることを示すこと。
• 微細スケールの不均質性とペルチッドダイナミクスモデルにおける非局所カーネルの形との間の関係を確立すること。
• 本手法を高次元および非周期的微細構造へと拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• 周期的ユニットセル内における微細構造の変位を多項式アンザッツで近似する。
• 微細スケールの弾性動力学方程式から、マクロスケールの変位に対する均質化非局所動力学方程式を導出する。
• 均質化方程式を離散的影響関数を有する線形ペルチッドダイナミクス方程式に再定式化する。
• 微細構造の機械的特性および長さスケールに基づいて影響関数を計算し、符号が変化するカーネルが得られる。
• 高分解率の有限要素法モデル（FEM）および線形減衰型を有する標準ペルチッドダイナミクスモデルと比較して、導出されたカーネルの妥当性を検証する。
• 精度の向上を図るため、高次多項式近似を適用し、収束性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不均質材料の微細構造から、ペルチッドダイナミクス影響関数を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 微細構造から導出された影響関数は、標準ペルチッドダイナミクスモデルと比較して、波動ダイナミクスの精度にどのような影響を与えるか？
• RQ3 多項式アンザッツの次数は、導出された影響関数の精度にどのように影響するか？
• RQ4 微細構造に基づく影響関数は、動的破壊シナリオにおける波の分散を低減し、シミュレーションの忠実性を向上させることができるか？
• RQ5 ホライズンがゼロに近づく極限において、導出された影響関数は古典的均質化理論とどのように比較されるか？

主な発見

• 微細構造から導出した影響関数は、標準的な線形減衰型ペルチッドダイナミクスカーネルと比較して、中点変位および波動ダイナミクスの予測精度が著しく向上する。
• 6次までの高次多項式アンザッツを用いることで精度が向上し、4次以上では追加の向上がほとんど得られない。
• 導出された影響関数は離散的かつ符号が変化する形であり、ペルチッドダイナミクスモデルで波の分散を低減する既知の形式と整合する。
• 導出されたカーネルを用いた非局所モデルは、使用する自由度がはるかに少ないにもかかわらず、完全に解像された有限要素法モデルよりも波動ダイナミクスの精度が優れている。
• ホライズンがゼロに近づく極限において、本手法は局所的均質化理論と整合しており、漸近的正しさが裏付けられる。
• 微細構造に基づく非局所モデルの計算コストは、高分解率の有限要素法モデルよりも低く、非局所性を持つにもかかわらずその特徴を有している。