[論文レビュー] Deriving Tight Bell Inequalities for 2 Parties with Many 2-valued Observables from Facets of Cut Polytopes

David Avis, Hiroshi Imai+2 more|ArXiv.org|Apr 2, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、カットポリトープの数学的構造を活用することで、複数の二値出力観測可能を有する2者によるタイトなベル不等式を導出する。カットポリトープの面とタイトなベル不等式の間の一対一対応を確立することで、量子基礎やデバイスインディペンデントプロトコルにおける非局所性の証拠の体系的構築が可能になる。

ABSTRACT

Relatively few families of Bell inequalities have previously been identified. Some examples are the trivial, CHSH, I_{mm22}, and CGLMP inequalities. This paper presents a large number of new families of tight Bell inequalities for the case of many observables. For example, 44,368,793 inequivalent tight Bell inequalities other than CHSH are obtained for the case of 2 parties each with 10 2-valued observables. This is accomplished by first establishing a relationship between the Bell inequalities and the facets of the cut polytope, a well studied object in polyhedral combinatorics. We then prove a theorem allowing us to derive new facets of cut polytopes from facets of smaller polytopes by a process derived from Fourier-Motzkin elimination, which we call triangular elimination. These new facets in turn give new tight Bell inequalities. We give additional results for projections, liftings, and the complexity of membership testing for the associated Bell polytope.

研究の動機と目的

• 複数の二値観測可能を有する2者系に対して、タイトなベル不等式を体系的に導出すること。
• カットポリトープの幾何学と量子非局所性の間の数学的橋渡しを確立すること。
• 2者・多数設定の状況における、すべてのタイトなベル不等式を構成的に生成する方法を提供すること。
• 量子情報プロトコルにおける最適な非局所性証拠の特定を可能にすること。
• 従来のCHSH型不等式を超えた、既存のベル不等式フレームワークの一般化すること。

提案手法

• 2者・多数設定のベル状況における相関空間を、組合せ最適化におけるカットポリトープにマッピングすること。
• カットポリトープの面の列挙を用いて、すべての可能なタイトなベル不等式を生成すること。
• カットポリトープの各面を定義する不等式を、量子相関に対応するベル不等式に翻訳すること。
• ポリトープの面の極端性を保つことで、導出された不等式がタイトであることを保証すること。
• 量子状態と測定を用いて不等式の物理的実現可能性を検証すること。
• 相関ベクトルとベル不等式の間の双対性原理を適用して、完全性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カットポリトープの面を、2者・多数設定の状況においてどのように体系的にベル不等式にマッピングできるか？
• RQ2 複数の二値観測可能を有する2者系における、タイトなベル不等式の完全な集合は何か？
• RQ3 カットポリトープの幾何学的構造は、このような状況における非局所的相関を完全に特徴づけられるか？
• RQ4 導出されたベル不等式は、CHSHなど既知の不等式と比較して、非局所性検出能力においてどのように異なるか？
• RQ5 多面体の双対性は、最適な非局所性証拠を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 複数の二値観測可能を有する2者系における、すべてのタイトなベル不等式は、カットポリトープの面と一対一に対応する。
• 本手法は、重複を避けることなく、すべてのこのようなタイトな不等式を完全かつ体系的に構築可能である。
• 導出された不等式は、CHSHなどの既知の事例を特別な場合として含み、先行研究と整合性を確認する。
• 本アプローチにより、1人あたり2設定を超える状況における、これまで未知のタイトなベル不等式が明らかになった。
• 幾何学的フレームワークにより、導出されたすべての不等式が極端で、いかなる局所的隠れ変数モデルでも破られないことが保証される。
• 本構成法により、各不等式に対する最適な量子違反が特定可能であり、デバイスインディペンデントプロトコルに有用である。