[論文レビュー] Derrida's random energy models. From spin glasses to the extremes of correlated random fields

Nicola Kistler|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、相関する確率場の最大値を分析するための第二モーメント法のマルチスケールな改良を提案する。特に、Derridaのランダムエネルギー模型（REM）および一般化REM（GREM）に適用する。局所的射影を用いて、共分散構造に基づいて第一原理から階層的スケールを同定することで、非ガウス型や非階層的モデル（例：2次元ガウス自由場、最初/最後到達時パーコレーション）における極値の厳密な取り扱いが可能となり、これらの系における極値統計の普遍性はスケーリング構造に起因することを明らかにする。

ABSTRACT

These are notes for a mini-course on the extremes of correlated random fields which I gave in the spring 2013 in Marseille. The first chapter recalls the paradigmatic random energy models with finitely many scales introduced by B. Derrida in the context of mean field spin glasses. The second chapter presents a multi-scale refinement of the second moment method which is particularly efficient to analyze models with a growing number of scales, such as the Gaussian hierarchical field (the directed polymer on Cayley trees). In the third chapter, applications of the method to e.g. Gaussian free fields and issues of percolation in high dimensions are briefly touched upon. The last chapter deals with a procedure of "local projections" which allows, in a number of cases, to construct scales from first principles.

研究の動機と目的

• 相関する確率場の最大値を分析するための体系的でマルチスケールな第二モーメント法の改良を開発すること。
• 共分散構造に基づく局所的射影を用いて、特に非ガウス型または非階層的モデルにおける階層的スケールを第一原理から同定すること。
• 本手法が2次元ガウス自由場、木上の最初/最後到達時パーコレーション、および超立方体上のパーコレーションなど多様なモデルに適用可能であることを示すこと。
• スケール分離と自己相似性が、明示的な幾何構造を持たないモデルでさえもREMクラスの挙動を可能にする理由を明らかにすること。
• 理論物理学の知見（例：パリージ、デリダ）を、極値の厳密な確率論的解析と結びつける概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 第二モーメント法を、より大きな近傍の情報に関する条件付き期待値を用いて、場を複数のスケールに階層的に分解することで改良する。
• 共分散構造に基づき、例えば重なりやGFFにおける距離によって定まる近傍内の場の値を条件付けることで、局所的射影を用いてスケールを定義する。
• 場のテレスコピックな分解を構築する：$ X_{\eta}^{N} = \mathbb{E}[X_{\eta}^{N} \mid \mathcal{F}_{q}] + \text{残差} $、ここで$ \mathcal{F}_{q} $ はスケール$ q $ における情報を捉える。
• 2次元ガウス自由場では、半径$ N^{1 - \pi q / 2} $ のユークリッド球を用いて階層的構造を同定し、GREMに類似する分解が得られる。
• GFFのマルコフ性を活用し、球の境界上での条件付き期待値とその補集合上での条件付き期待値を等価とみなすことにより、再帰的分解が可能になる。
• 本手法は一般性を有し、スケール同一定義のステップを適応することで、ガウス性を超えるモデル（例：パーコレーション、指向性高分子）にも適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関する確率場の最大値における下位のオーダー補正を捉えるために、第二モーメント法をどのように改良できるか？
• RQ2 明示的な幾何構造を持たないモデル（例：2次元ガウス自由場）においても、第一原理から階層的スケールを同定できるか？
• RQ3 共分散構造に基づく局所的射影が、GREMやGFFのようなモデルにおける木構造的階層をどの程度明らかにするか？
• RQ4 相関が存在するにもかかわらず、REMクラスのモデルが独立な場と同様の極値統計を示す理由は何か？
• RQ5 本マルチスケール手法を、リーマン・ゼータ関数やランダム行列の特徴多項式といった非ガウス型モデルに拡張可能か？

主な発見

• マルチスケールな第二モーメント法の改良は、特に$ K > 2 $レベルを持つGREMのような階層的場において、最大値の主要項と下位項を的確に捉えることに成功した。
• 2次元ガウス自由場では、局所的射影により、(3.4)と同等の階層的分解が得られ、ユークリッド距離と共分散構造に基づくスケールが同定された。
• 本手法により、GFFの極値が階層的場と同様に振る舞う理由が説明された：場はスケール間で概ね自己相似的であり、これによりGREMに類似する近似が構築可能である。
• 本手法により、REMクラスは、相関が存在しても、微視的相関の支配的性質のおかげで、単一のスケールまたはスケールなしの挙動を特徴づけることが明らかになった。
• GFF や超立方体上のパーコレーションにおける木構造の同定は、共分散に基づく近傍における条件付き期待値を用いることで、構成的かつ明示的に可能である。
• 本手法は非ガウス性に対しても頑健であり、2分木上の最初/最後到達時パーコレーションやカバレータイムといったモデルにも適用可能であり、正しい極値挙動を捉えている。