[論文レビュー] Description of moduli space of projective structures via fat graphs

V. V. Fock|ArXiv.org|Dec 25, 1993

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、ペナーの複素構造に対する構成と類似するように、脂肪グラフを用いてリーマン面上の射影構造のモジュライ空間の明示的な細分を構成する。複素数の辺重みを用いてモジュライ空間に複素座標を導入し、射影構造のモジュライ空間と $PGL(2,\mathbb{C})$-平接接続のモジュライ空間との間で吹き出し被覆関係を確立し、フクシアン群のパラメータ表示を提供する。

ABSTRACT

We give an elementary explicit construction of cell decomposition of the moduli space of projective structures on a two dimensional surface analogous to the decomposition of Penner/Strebel for moduli space of complex structures. The relations between projective structures and $PGL(2,{\bf C})$ flat connections are also described. (in the revised version uuencoded pictures are made printable)

研究の動機と目的

• リーマン面上の射影構造のモジュライ空間に対する明示的かつ初等的な細分の構成を提供すること。
• 射影構造と複素数の辺重みをもつ脂肪グラフとの間の対応関係を確立し、複素構造に対するペナーの構成を一般化すること。
• 射影構造のモジュライ空間と $PGL(2,\mathbb{C})$-平接接続のモジュライ空間との関係を明確にし、それが吹き出し被覆であることを示すこと。
• 射影構造のモジュライ空間上のグラフに基づく座標を用いてフクシアン群の完全なパラメータ表示を提供すること。

提案手法

• 穴あき曲面 $\Sigma_0$ にホモトピー同値な脂肪グラフを用い、辺に複素数を割り当てて射影構造のデータを表現する。
• 2.1節の構成を適用し、複素数の辺重みをもつ脂肪グラフごとに射影構造をもつリーマン面を関連付ける。
• シュワルツィアン導関数と射影接続を用いて、射影座標の遷移関数と曲面の幾何の関係を確立する。
• 端点における射影座標の交比の対数として辺重み $Z_\alpha$ を定義し、これによりモジュライ空間上の複素座標が得られる。
• 射影構造のモジュライ空間がこれらの $Z_\alpha$ 変数によってパラメータ化される複素多様体であることを示す。
• 特殊な場合（1個の穴あきトーラス、4個の穴あき球面）を分析し、一貫性を検証し、構成を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペナーの複素構造に対する構成と類似するように、脂肪グラフを用いて射影構造のモジュライ空間を細分することは可能か？
• RQ2 射影構造のモジュライ空間と $PGL(2,\mathbb{C})$-平接接続のモジュライ空間との間の正確な関係は何か？
• RQ3 この構成により、グラフに基づく座標を用いてフクシアン群の完全なパラメータ表示を得られるか？
• RQ4 脂肪グラフ上の複素辺重み $Z_\alpha$ は、射影構造の全幾何をどのように符号化するか？
• RQ5 例えばトーラス例における $k \to i\pi$ のときのように、退化近傍におけるモジュライ空間の振る舞いはいかなるものか？

主な発見

• 射影構造のモジュライ空間は、複素数の辺重み $Z_\alpha$ をもつ脂肪グラフによってパラメータ化される細分をもつ。これはペナーの実座標構成の一般化である。
• 1個の穴あきトーラスの場合、射影構造はモジュラーパラメータ $\tau$ と複素数パラメータ $k$ でパラメータ化され、辺重みは $Z_\alpha = 2\ln|\text{sh}(k\cdot \text{period})|$ で与えられ、$k$ に明示的な依存関係を示す。
• 4個の穴あき球面の場合、辺重みは穴あき点における射影座標の交比によって決定され、既知の均質化と整合的であることが確認された。
• この構成により、モジュライ空間 $\mathcal{MP}_\Sigma$ の稠密部分集合が得られ、グラフ-複体構成によるグローバルパラメータ表示が示唆された。
• 射影構造のモジュライ空間が $PGL(2,\mathbb{C})$-平接接続のモジュライ空間の吹き出し被覆であることが示され、被覆構造は辺重みの複素性に起因する。
• 論文は、$\mathcal{MP}_\Sigma^{\text{comb}}$ が辺重みが無限大に近づくような退化ケースを含めるように拡張可能であり、これによりすべての射影構造を記述できると予想している。