[論文レビュー] Descriptive Control Theory: A Proposal

Sicun Gao|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、計算可能実関数上のデルタ意思決定を用いる論理的枠組み、記述的制御理論を提案する。これは、古典的1階論理における決定不能性にもかかわらず、制御問題の決定可能性を実現する。論理的述語における有界な数値誤差を許容することで、非線形およびハイブリッド系に対する論理的決定手続きの利用を可能にし、自動的かつ信頼性の高いシステム設計を統合的に行うための記号的推論と数値計算の統合を実現する。

ABSTRACT

Logic is playing an increasingly important role in the engineering of real-time, hybrid, and cyber-physical systems, but mostly in the form of posterior verification and high-level analysis. The core methodology in the design of real-world systems consists mainly of control theory and numerical analysis, and has remained mostly free of logic and formal approaches. As a result, besides facing extreme difficulty in guaranteeing the reliability of these systems, engineers are also missing out the computational power of logic-based methods that has greatly advanced in the past decades. To change this situation, we need a logical and computational foundation for control theory. The name "descriptive control theory" emphasizes the overarching theme of using logic to express, analyze, and solve problems in control theory. If the program is successfully carried out, logical approaches will significantly extend existing engineering methods towards a unified methodology for handling nonlinear and hybrid systems, and bring design automation and reliability to an unprecedented level in the broad field of engineering.

研究の動機と目的

• 制御理論における形式的論理の統合が不足していることによる、工学的設計における信頼性と自動化の制限を解消すること。
• 微多項式関数を含む実数算術における1階論理の決定不能性を克服すること。
• 複雑なシステムの自動検証と合成を可能にする制御理論の論理的基盤を構築すること。
• デルタ近似推論を導入することで、記号的論理と数値手法のギャップを埋めること。
• 形式的かつ決定可能な符号化を通じて、従来の制御理論手法を非線形的・ハイブリッド的・高複雑性システムに拡張すること。

提案手法

• デルタ意思決定の導入：標準的な論理的決定問題を、片側かつ有界な数値誤差（δ1, δ2, δ3）を許容するように緩和し、計算可能実関数上での決定可能性を達成する。
• 実関数を用いた1階言語 L_R^1_F を形式化することで、到達可能性、安定性、最適制御問題の論理的符号化を可能にする。
• DPLL(T)-スタイルのアーキテクチャを用い、最適化ソルバをオракルとして、δ意思決定フレームワーク内での∃∀文の解法に統合する。
• 再帰的アルゴリズムを設計し、まず普遍的量化された制約を過剰近似で解き、その後に結果を用いて存在的変数を削減する。
• テンプレートベース手法を用いて、2階制御問題を1階の∃Σ2問題に還元し、パラメータ化された制御器における実用的探索を可能にする。
• ODEソルバーや区分的線形近似などの数値手法を統合し、力学系のデルタ近似トレースを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形およびハイブリッド力学系を含む制御問題が、決定可能手続きを持つ論理的枠組みに形式的に符号化可能か？
• RQ2 有界な数値誤差（デルタ近似）をどのように用いることで、実数算術における決定不能な論理的問題を決定可能にするか？
• RQ3 任意の計算可能実関数を含む1階論理式に対するデルタ意思決定問題の計算量的複雑性は何か？
• RQ4 2階論理を用いて最適制御やリャプノフ関数の合成といった制御設計問題を表現・解法可能か？
• RQ5 記号的推論と数値計算を効果的に統合し、デルタ完全かつ自動的に制御問題を解けるフレームワークは何か？

主な発見

• 有界領域内での計算可能実関数上におけるデルタ意思決定問題は、標準的決定問題が決定不能であっても決定可能である。
• デルタ意思決定問題の計算量的複雑性は、それらの離散的類似物と同等であり、実用的導入が可能である。
• L_R^1_Fにおける1階制御問題は形式的に符号化可能であり、記述的複雑性理論を用いてその複雑性を特徴づけられる。
• テンプレートベースのパラメータ化により、最適制御やリャプノフ解析といった2階制御問題は1階の∃Σ2問題に還元可能である。
• 普遍的制約の過剰近似による再帰的制約解法により、存在的変数の削減が可能となり、デルタ完全アルゴリズムの基盤が構築される。
• 数値的ODEソルバーと論理的推論の統合により、力学系のデルタ近似トレースが得られ、到達可能性と検証タスクを支援する。