[論文レビュー] Descriptive set theory and forcing; How to prove theorems about Borel sets the hard way

Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 1994

Advanced Topology and Set Theory参考文献 73被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、フォーシングと記述的集合論を用いて、Borel集合に関する定理を証明する新しい手法を提示する。特に、非可算なポーランド空間上のBorel階層の長さが正確に ω₁ に達することを示している。可算族によって生成される場合でも、Borel σ-代数をより短い階層で生成することはできず、ルヴォーの定理や Π₀^α 級の普遍集合といった古典的結果についても、新たな証明を与える。

ABSTRACT

These are lecture notes from a course I gave at the University of Wisconsin during the Spring semester of 1993. Part 1 is concerned with Borel hierarchies. Section 13 contains an unpublished theorem of Fremlin concerning Borel hierarchies and MA. Section 14 and 15 contain new results concerning the lengths of Borel hierarchies in the Cohen and random real model. Part 2 contains standard results on the theory of Analytic sets. Section 25 contains Harrington's Theorem that it is consistent to have $Π^1_2$ sets of arbitrary cardinality. Part 3 has the usual separation theorems. Part 4 gives some applications of Gandy forcing. We reverse the usual trend and use forcing arguments instead of Baire category. In particular, Louveau's Theorem on $Π^0_α$ hyp-sets has a simpler proof using forcing.

研究の動機と目的

• Borel集合に関する定理を証明するための方法を開発すること。特に、連分数などの古典的手法を避けること。
• 任意の非可算なポーランド空間におけるBorel階層が、可算族によって生成されても長さが正確に ω₁ に達することを示すこと。
• Borel集合がすべての Δ₀^α 集合に対して普遍であることは不可能であることを示し、著者の学位論文における疑問を解決すること。
• ルヴォーの定理（Π₀^α 級の普遍集合が存在しないこと）をフォーシング手法を用いて再証明すること。
• 抽象的な設定において、フォーシングとBorel階層を用いてルベーグの普遍集合構成を一般化すること。

提案手法

• 記述的集合論の基盤として、フォーシングとLöwenheim-Skolemの定理を用いる。
• 非可算なポーランド空間の普遍的モデルとして、Baire空間 ω^ω とCantor空間 2^ω を適用する。
• 基本的開集合の木構造上の再帰的構成を用いて、Π₀^α 級の普遍集合を構成する。
• 可算族 F ⊆ P(X) 上での抽象的Borel階層を定義し、古典的Borel階層を一般化する。
• Borel操作の下での閉包を示すために、対角集合 D = {x : (x,x) ∈ A} における対角化の議論を用いる。
• Borel(2^ω) ⊆ Borel(H) ならば ord(H) = ω₁ であることを、普遍集合と射影の議論を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォーシングを用いて、非可算なポーランド空間上のBorel階層が正確に長さ ω₁ に達することを示せるか？
• RQ2 ポーランド空間内に、すべての Δ₀^α 集合に対して普遍なBorel集合が存在するか？
• RQ3 ルヴォーの定理（Π₀^α 級の普遍集合が存在しないこと）をフォーシング手法を用いて再証明できるか？
• RQ4 可算族が生成するBorel階層の最小長さは何か？
• RQ5 抽象的集合族において、Borel階層は射影や共通部分集合の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の非可算なポーランド空間におけるBorel階層は、可算族によって生成されても長さが正確に ω₁ に達する。
• ルヴォーの定理の系（LABEL:univdel）により、Δ₀^α 集合に対して普遍なBorel集合は存在しない。
• 空間に非可算な完全集合が存在する限り、任意の可算族 H に対して Π₀^α 級の普遍集合が存在する。
• Borel(2^ω) ⊆ Borel(H) である限り、A が積空間でBorelであれば、対角集合 D = {x : (x,x) ∈ A} はBorelである。
• 本稿で与えられるルヴォーの定理の証明は、古典的証明とは異なり、フォーシングと普遍集合に依存している。
• 任意の可算族 F が、完全集合を含む空間におけるBorel集合を生成する場合、ord(F) = ω₁ であることが確立された。