[論文レビュー] Design by Measure and Conquer, A Faster Exact Algorithm for Dominating Set

Johan M. M. van Rooij, Hans L. Bodlaender|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 51

ひとこと要約

本稿では、支配集合問題の正確なアルゴリズムを段階的に改善するための数学的最適化を用いる新規手法「測定と征服に基づく設計」を導入する。分岐および削減規則を準凸プログラミングを用いて分析することで、より高速なアルゴリズムが得られ、多項式空間ではO(1.5134^n)、指数時間空間ではO(1.5063^n)の時間計算量を達成し、正確な支配集合計算の分野で新たな記録を樹立した。

ABSTRACT

The measure and conquer approach has proven to be a powerful tool to analyse exact algorithms for combinatorial problems, like Dominating Set and Independent Set. In this paper, we propose to use measure and conquer also as a tool in the design of algorithms. In an iterative process, we can obtain a series of branch and reduce algorithms. A mathematical analysis of an algorithm in the series with measure and conquer results in a quasiconvex programming problem. The solution by computer to this problem not only gives a bound on the running time, but also can give a new reduction rule, thus giving a new, possibly faster algorithm. This makes design by measure and conquer a form of computer aided algorithm design. When we apply the methodology to a Set Cover modelling of the Dominating Set problem, we obtain the currently fastest known exact algorithms for Dominating Set: an algorithm that uses $O(1.5134^n)$ time and polynomial space, and an algorithm that uses $O(1.5063^n)$ time.

研究の動機と目的

• 支配集合のようなNP困難問題のための、より高速な正確なアルゴリズムを体系的に設計する手法を開発すること。
• 測定と征服を分析のためのものにとどめず、最適化を用いて規則の改善を導くことによって、能動的なアルゴリズム設計にも統合すること。
• 支配集合問題に対して、これまでに知られていたアルゴリズムよりも高速な実行時間の上限を達成すること。
• 測定と征服が、削減規則および分岐規則の自動発見に役立つかどうかを検討すること。

提案手法

• 支配集合問題の集合被覆定式化に測定と征服を適用し、重みベクトルに基づく非標準的なサイズ測定を用いる。
• アルゴリズム設計プロセスを準凸プログラミング問題として定式化し、その解が削減および分岐規則の改善を導くようにする。
• 最悪ケースのインスタンスを分析し、時間計算量の上限を最小化するために重みおよび規則を調整することで、段階的にアルゴリズムを最適化する。
• コンピュータ支援最適化を用いて、実行時間の上限をタイトにする新しい削減規則を導出する。
• 各段階で削減規則を再構成し、重複を排除するとともに、分岐ステップにおけるサイズ削減を改善する。
• 単純なアルゴリズムから始めて、段階的に高速化するアルゴリズムのバリエーションの系列をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定と征服のアプローチは、分析のためのものにとどまらず、より高速な正確なアルゴリズムの設計に対しても利用可能か？
• RQ2 与えられた測定基準の下で、実行時間の上限を最小化する最適な削減および分岐規則の集合は何か？
• RQ3 準凸プログラミングの解が、新しい効果的な削減規則の発見を導くことができるか？
• RQ4 現在の分岐および測定選択に基づいて、この手法を用いてさらに高速化できる限界はあるか？
• RQ5 この手法は、支配集合問題にとどまらず、他のNP困難問題へ一般化可能か？

主な発見

• 本手法により、多項式空間でO(1.5134^n)の時間計算量を達成する、支配集合問題に対する最も高速な既知の正確なアルゴリズムが得られた。
• 指数時間空間を用いるバージョンでは、O(1.5063^n)の時間計算量を達成し、さらに状態の最良を更新した。
• 標準的な削減規則によるさらなる改善はNP困難な意思決定を要するため、現在の設計制約下では、このアルゴリズムは最適であると見なせる。
• 準凸プログラミングの解は、実行時間の上限を制限するだけでなく、新しい削減規則の提示も直接的に行うことができ、この手法の自己改善性を示している。
• 測定または分岐規則を変更しない限り、さらなる改善が不可能な点で停止するため、この設計経路における理論的限界が示された。
• 要素の頻度および集合サイズに基づく部分ケース分析はわずかな利点しか得られず、指数時間空間バージョンではほとんど重みがゼロに近いため、その利点は相殺された。