[論文レビュー] Designing Output Sensitive Algorithms for Subgraph Enumeration

Yixin Cao|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、同形グラフクラスにおける最大固有部分グラフの出力感度型列挙アルゴリズムを設計するための新規フレームワークを提案する。報復なしパスとt制限付き問題変種を活用することで、区間グラフ、スレッショルドグラフ、有界次数グラフなどの主要クラスにおいて、連結および非連結バージョンの両方に対して多項式遅延アルゴリズムを確立した。既知の結果のより単純な証明を提供し、解マップを用いることで、従来のアプローチを統一した。

ABSTRACT

Given a graph $G$, the maximal induced subgraphs problem asks to enumerate all maximal induced subgraphs of $G$ that belong to a certain hereditary graph class. While its optimization version, known as the minimum vertex deletion problem in literature, has been intensively studied, enumeration algorithms are known for a few simple graph classes, e.g., independent sets, cliques, and forests, until very recently [Conte and Uno, STOC 2019]. There is also a connected variation of this problem, where one is concerned with only those induced subgraphs that are connected. We introduce two new approaches, which enable us to develop algorithms that solve both variations for a number of important graph classes. A general technique that has been proved very powerful in enumeration algorithms is to build a solution map, i.e., a multiple digraph on all the solutions of the problem, and the key of this approach is to make the solution map strongly connected, so that a simple traversal of the solution map solves the problem. We introduce retaliation-free paths to certificate strong connectedness of the solution map we build. Generalizing the idea of Cohen, Kimelfeld, and Sagiv [JCSS 2008], we introduce the $t$-restricted version, $t$ being a positive integer, of the maximal (connected) induced subgraphs problem, and show that it is equivalent to the original problem in terms of solvability in incremental polynomial time. Moreover, we give reductions between the two variations, so that it suffices to solve one of the variations for each class we study. Our work also leads to direct and simpler proofs of several important known results.

研究の動機と目的

• 重要な同形グラフクラスにおける最大固有部分グラフの効率的で出力感度型の列挙アルゴリズムの開発。
• 最大固有部分グラフ問題の標準的および連結バージョンの両方の取り扱い。
• 解マップと強い連結性に基づく新しい理論的枠組みを用いて、既存の結果を統合・簡略化すること。
• t制限付き問題と元の列挙問題との間の等価性を、増分多項式時間で確立すること。
• 部分グラフ列挙分野におけるいくつかの既知の結果について、直接的でより単純な証明を提供すること。

提案手法

• ノードが最大固有部分グラフを表し、アークが後続関係を表す有向多重グラフとしての解マップを構築する。
• 各解Sに対して、Sに属さない頂点vを1つ追加し、S ∪ {v}上で制限付き部分問題を解くことで、新たな解を生成する後続関数を定義する。
• 「報復なしパス」——サイクルを回避し、目標解へ進行を保証するパス——を用いて、解マップの強い連結性を証明する。
• t ≥ 1 に対して問題のt制限付きバージョンを導入し、増分多項式時間での解法が可能となるようにし、元の問題と等価であることを示す。
• 目標解からの欠落要素数などのメトリックを用いた議論により、任意の解が参照解に近い後続解を持つことを証明する。
• Cohenら[20]の結果を活用し、入力制限付き問題の多項式時間解法が多項式遅延列挙を示すことを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同形グラフクラスの広いクラスにおいて、最大固有部分グラフ問題の多項式遅延列挙アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 問題のt制限付きバージョンは、増分多項式時間での列挙を達成するためにどのように利用できるか？
• RQ3 どのグラフクラスの構造的性質が、解マップが報復なしパスによって強く連結であることを保証するか？
• RQ4 最大固有部分グラフ問題の連結および非連結バージョンは、効率的なアルゴリズム設計のために互いに還元可能か？
• RQ5 提案されたフレームワークは、部分グラフ列挙分野における既知の結果について、より単純かつ一般化された証明をもたらせるか？

主な発見

• 区間グラフ、自明に完璧なグラフ、スプリットグラフ、スレッショルドグラフ、クラスターグラフ、完全二部グラフ、およびd次元有界グラフにおいて、最大固有P部分グラフ問題とその連結バージョンは多項式遅延で解ける。
• ホイール自由グラフ、ユニット区間グラフ、ブロックグラフ、3リーフパワー、および有限な禁止固有部分グラフ特徴付けを持つ任意のグラフクラスにおいて、問題は増分多項式時間で解ける。
• スプリットグラフのクラスはCKS性質を持つ。任意のグラフにおいて、最大固有スプリット部分グラフは高々O(n²)個であり、列挙が効率的に行える。
• 擬似スプリットグラフのクラスについてもCKS性質を持つ。クリークと独立集合の構造的制約により、最大固有擬似スプリット部分グラフは高々O(n⁴)個である。
• 最大次数d（固定d）のグラフにおいて、最大固有部分グラフは高々O(d²d nᵈ)個であり、これはnに関して多項式であるため、多項式遅延列挙が可能である。
• 問題のt制限付きバージョンは、増分多項式時間での解法という点で、元の問題と等価であり、統一的なアルゴリズム的アプローチを可能にする。