[論文レビュー] Designing Tractable Piecewise Affine Policies for Multi-Stage Adjustable Robust Optimization

Simon Thomä, Grit Walther+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Advanced Control Systems Optimization参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非負の右辺項の不確実性を伴う多段階調整ロバスト最適化（ARO）に対して、取り扱い可能な区分的アフィン方策を提案する。新たな支配的不確実性集合を構築し、頂点解の凸結合を活用することで、線形計画法による効率的解法が可能となり、アフィン方策よりも著しく高速な計算速度を達成しながら、強い近似境界を実現し、解の品質を維持または向上させる。

ABSTRACT

We study piecewise affine policies for multi-stage adjustable robust optimization (ARO) problems with non-negative right-hand side uncertainty. First, we construct new dominating uncertainty sets and show how a multi-stage ARO problem can be solved efficiently with a linear program when uncertainty is replaced by these new sets. We then demonstrate how solutions for this alternative problem can be transformed into solutions for the original problem. By carefully choosing the dominating sets, we prove strong approximation bounds for our policies and extend many previously best-known bounds for the two-staged problem variant to its multi-stage counterpart. Moreover, the new bounds are - to the best of our knowledge - the first bounds shown for the general multi-stage ARO problem considered. We extensively compare our policies to other policies from the literature and prove relative performance guarantees. In two numerical experiments, we identify beneficial and disadvantageous properties for different policies and present effective adjustments to tackle the most critical disadvantages of our policies. Overall, the experiments show that our piecewise affine policies can be computed by orders of magnitude faster than affine policies, while often yielding comparable or even better results.

研究の動機と目的

• 非負の右辺項の不確実性を伴う多段階調整ロバスト最適化（ARO）の計算上の非効率性に対処すること。
• 多段階設定において強い近似保証を維持しつつ、計算的に効率的な方策を設計すること。
• 従来、近似境界が存在しなかった一般の多段階問題にまで、二段階AROの近似境界を拡張すること。
• 不確実性の分割方法における指数的増加を、頂点解の凸結合を用いることで克服すること。
• 区分的アフィン方策がアフィン方策よりも著しく高速に計算可能でありながら、同等またはより優れた性能を達成できることを示すこと。

提案手法

• 多段階ARO問題を線形計画問題に再定式化できる新たな支配的不確実性集合を構築する。
• 折り目点と凸結合を用いて、元の不確実性空間からスケーリングされた空間への非予見的写像を定義する。
• 不確而性成分をパラメータとする頂点解の凸結合として、区分的アフィン方策を定義する。
• 不確実性集合の定義におけるタイトニング制約を活用し、すべての不確実性実現において有効な凸結合が保証されるようにする。
• 不確実性空間の再パラメータライゼーションを用いて、支配的不確実性集合からの解を元の問題に戻す。
• 数値実験における性能検証のため、超球および予算制限付き不確実性集合に対する効率的なサンプリング技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の右辺項の不確実性を伴う多段階AROに対して、取り扱い可能な区分的アフィン方策を設計できるか？
• RQ2 このような方策が一般の多段階設定において、どのような近似境界を示すことができるか？
• RQ3 従来のアフィン方策および区分的アフィン方策と比較して、計算速度と解の品質の面でどのように異なるか？
• RQ4 提案手法により、二段階AROの近似境界を多段階ケースに拡張できるか？
• RQ5 実務的状況において、提案方策の深刻な欠点を緩和するための調整は可能か？

主な発見

• 提案された区分的アフィン方策は、アフィン方策よりも著しく高速に計算可能でありながら、同等またはより優れた解の品質を達成できる。
• 本手法は、一般の多段階ARO問題に対して強い近似境界を達成し、この分野で初めてのものである。
• 著者らは、支配的不確実性集合からの解が、保証された性能で元の問題の有効解に変換可能であることを証明している。
• スケーリングされた不確実性集合上で頂点解の凸結合を構築することで、線形計画法による効率的解法が可能になる。
• 数値実験では、他の方策と比較して、主要な性能指標で優れるか、同等の性能を示し、識別された弱みを補うための有効な調整が可能である。
• 超球および予算制限付き不確実性集合に対するサンプリング手法は、効率的であり、数値的検証において高い受容率を示している。