[論文レビュー] Designs and codes in affine geometry

Jens Zumbrägel|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Cooperative Communication and Network Coding被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、射影幾何学のqアナログアプローチを拡張する新しい枠組みとして、アフィン幾何学におけるアフィンデザインおよび符号を導入する。この枠組みにより、F_q 上のアフィンSteiner系S(2,3,7)の存在が確立され、アフィン多項式を用いたメトリックに基づく符号構成法が提案され、特定の状況では射影的類似物よりも優れたパラメータを示す、小集合交差符号がランダムネットワーク符号において削除を訂正できることを示している。

ABSTRACT

Classical designs and their (projective) q-analogs can both be viewed as designs in matroids, using the matroid of all subsets of a set and the matroid of linearly independent subsets of a vector space, respectively. Another natural matroid is given by the point sets in general position of an affine space, leading to the concept of an affine design. Accordingly, a t-(n, k, $\lambda$) affine design of order q is a collection B of (k-1)-dimensional spaces in the affine geometry A = AG(n-1, q) such that each (t-1)-dimensional space in A is contained in exactly $\lambda$ spaces of B. In the case $\lambda$ = 1, as usual, one also refers to an affine Steiner system S(t, k, n). In this work we examine the relationship between the affine and the projective q-analogs of designs. The existence of affine Steiner systems with various parameters is shown, including the affine q-analog S(2, 3, 7) of the Fano plane. Moreover, we consider various distances in matroids and geometries, and we discuss the application of codes in affine geometry for error-control in a random network coding scenario.

研究の動機と目的

• 射影幾何学ではなくアフィン幾何学を用いて、組合せデザインのqアナログの新しい枠組みを構築すること。
• Fano平面のアフィンqアナログS(2,3,7)を含む、アフィンSteiner系の存在を確立すること。
• ランダムネットワーク符号における誤り制御を目的として、アフィン幾何におけるメトリック構造および符号構成法を調査すること。
• アフィン符号とその射影的類似物との間で、サイズおよび削除訂正能力の観点から性能とパラメータを比較すること。

提案手法

• すべての(t−1)-フラットがちょうどλ個のそれらに含まれる(k−1)-フラットの集合として、アフィンデザインを定式化する。ここで、AG(n−1,q)内での(k−1)-フラットを用いる。
• 同じランクのフラットがすべて同じサイズを持つという性質を持つ、マトロイド理論（特に完全マトロイド設計）を用い、射影的およびアフィンデザインの枠組みを統一する。
• F_q線形部分空間U ⊆ F_q^m 上で定義されたアフィン多項式g|Uのグラフを用いた符号構成法を提案する。ここで、g ∈ Lt（次数 < q^{t−2} のアフィン多項式）である。
• アフィン幾何におけるフラットE, Fに対して、d(E,F) = r(E) + r(F) − 2r(E ∩ F) というメトリックを定義し、これが削除訂正を可能にすることを示す。
• [14] で提示された敵対的削除訂正フレームワークを適用し、小集合交差符号の削除訂正能力がe = k − tに達することを導出する。
• 構成された符号Cがq^{mt}個の要素を持ち、r(X ∩ Y) < t を満たす異なるX,Y ∈ Cに対して部分的S(t,k,n)Steiner系を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンqアナログのSteiner系は存在可能であり、どのようなパラメータに対して存在するか？
• RQ2 ネットワーク符号の文脈において、アフィン幾何のメトリックおよび符号的性質は、射影幾何と比較してどのように異なるか？
• RQ3 アフィン幾何における小集合交差符号は削除を訂正可能か？その最大の削除訂正能力は何か？
• RQ4 多項式のグラフを用いて構成されたアフィン符号のサイズと構造は何か？また、射影的部分空間符号と比較してどうなるか？
• RQ5 誤り制御を可能にする、部分空間距離メトリックの自然なアフィン幾何への一般化は存在するか？

主な発見

• Fano平面のアフィンqアナログS(2,3,7)は存在し、非自明なアフィンSteiner系の新しい例を提供する。
• アフィン多項式のグラフを用いた小集合交差符号の構成法により、AG(n−1,q)内にサイズq^{mt}の符号が得られ、n = ℓ + m + 1 および k = ℓ + 1 である。
• t=3, m=ℓ=3, q=2の場合、512個の語を持つ部分的S(3,4,7)Steiner系が得られ、同様のパラメータを持つ既知の最良の射影的部分空間符号を上回る。
• 同じ構成により、64個の語を持つ部分的S(2,4,7)Steiner系が得られ、命題4.5により、72個の語を持つ完全なS(2,4,7)Steiner系も存在する。
• 符号は最大e = k − t個の削除を訂正可能であり、削除耐性のあるネットワーク符号における実用的利点を示している。
• アフィンメトリックd(E,F) = r(E) + r(F) − 2r(E ∩ F) は三角不等式を満たさないが、∆-不一致フレームワークを用いることで削除訂正は依然可能である。