[論文レビュー] Desingularisation de metriques d'Einstein. II

Olivier Biquard|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、A1軌道特異点をもつ4次元Poincaré-Einstein計量のdesingularizationを分析することにより、4次元Poincaré-Einstein計量におけるウォールクロッシング公式を確立する。超ケーラー幾何と自己双対2形式による曲率分解に基づく形式的枠組みを用い、アインシュタイン方程式の2次項を計算することで、特異点における自己双対曲率作用素の行列式の符号を特定する。主な結果は、アインシュタインのdesingularizationが、moduli wallのうち、det R+(g0(γ))(p0) > 0 が成り立つ側にのみ存在することであり、これは先行研究における疑問を解消し、DkおよびEk特異点へは高次のj特異点障害を用いて拡張される。

ABSTRACT

We calculate a wall crossing formula for 4-dimensional Poincare-Einstein metrics, through a wall made of orbifold Poincare-Einstein metrics with A1 singularities. This is based on a formalism which enables to deal with higher order terms of the Einstein equation in this setting. Some other consequences are deduced.

研究の動機と目的

• A1軌道特異点をもつ特異な4次元アインシュタイン計量のコンフォーマル無限遠空間におけるmoduli wallの、アインシュタインdesingularizationが存在する側を特定すること。
• SO(3)-接続を自己双対2形式に用いる一般形式的枠組みを構築し、アインシュタイン方程式の2次項を計算すること。
• 特異点における計量の高次ジェットを分析することにより、DkおよびEk特異点へのdesingularization手続きを拡張すること。
• desingularizationにおける符号の曖昧さを解消するため、desingularized計量におけるdet R+(g0(γ))(p0)の符号を計算すること。
• 初期条件(1)を超える最初の非自明な障害を特定すること、特にAk特異点では4次に現れる。

提案手法

• 自己双対2形式のバンドル上のSO(3)-接続に基づく形式的枠組みを用い、曲率テンソルを分解し、アインシュタイン方程式を曲率成分R+およびR−の形に表現する。
• Gibbons-Hawkingのアンザッツを用いて、A1、Dk、およびEk特異点における明示的な超ケーラー計量を構成し、曲率および接続項の明示的計算を可能にする。
• コンフォーラル無限遠の変形における自己双対曲率作用素R+の変動を分析することで、アインシュタイン方程式の2次項を計算する。
• 超ケーラー多様体上のモーメント写像および全純1形式を用い、desingularizing球面上での積分、特に∫Σ m ω1および∫Σ ϕ1を計算する。
• Ak特異点のケースにこの形式的枠組みを適用し、特異点における2次ジェットおよび4次ジェットを計算し、desingularizationの障害を同定する。
• DkおよびEkの場合、4次障害が対称性により消えることから、6次以降の高次障害（おそらく6次）が生じる可能性があると示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフォーラル境界の空間におけるmoduli wall C0のどの側でdesingularizedアインシュタイン計量が存在するか？
• RQ2 desingularizedアインシュタイン計量の存在を決定するdet R+(g0(γ))(p0)の正確な符号条件は何か？
• RQ3 2次ジェットを超える高次ジェット障害（Ak特異点における）は、desingularizationプロセスにどのように影響するか？
• RQ4 同じ曲率に基づく形式的枠組みを用いて、A1からDkおよびEk特異点へのウォールクロッシング行動を一般化できるか？
• RQ5 重力インスタントンの超ケーラー幾何が、アインシュタイン方程式の2次項の計算に果たす役割は何か？

主な発見

• desingularizedアインシュタイン計量は、det R+(g0(γ))(p0) > 0 が成り立つmoduli wallの側にのみ存在し、ウォールクロッシング公式における符号の曖昧さが解消される。
• A1特異点の場合、4次ジェットが対称性条件を満たしていれば、4次障害は消え、コンフォーラル変形を用いて行列式条件を解消できる。
• DkおよびEkの場合、C*-作用が3つの特異点を固定するため、4次障害は消え、障害は高次（おそらく6次）に現れる。
• SO(3)-接続および曲率分解を用いた形式的枠組みにより、アインシュタイン方程式の2次項が明示的に計算可能となり、desingularizationプロセスの明確な解析が可能になる。
• ∫Σ m ω1 = π(k+1)(Vol Σ / 2π)^2 の計算により、障害の幾何的起源が確認され、Akインスタントンのアンザッツの妥当性が裏付けられる。
• 本稿は、desingularizationのためにはdet R+(g0)(p0) = 0 が必要であり、det R+(g0(γ))(p0) の符号が、ウォールの片側での解の存在を決定することを示している。