[論文レビュー] Desingularization of vortex rings in 3 dimensional Euler flows: with swirl

Daomin Cao, Jie Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて3次元軸対称Euler流れにおける渦巻きを伴う安定な渦リングの2パラメータ族を構成し、古典的円形渦糸の正則化を達成した。主な結果は、正則化パラメータβ → 0⁺のとき、渦度支持が半径r* = 1/(4πW)の円に収縮することを示しており、エネルギーおよびラグランジュ乗数は1/βに関して対数的にスケーリングされ、極限における渦度分布は弱L²位相において径方向非増加的である。

ABSTRACT

We study desingularization of steady vortex rings in three-dimensional axisymmetric incompressible Euler fluids with swirl. Using the variational method, we construct a two-parameter family of steady vortex rings, which constitute a desingularization of the classical circular vortex filament, in several kinds of domains. The precise localization of the asymptotic singular vortex filament is shown to depend on the circulation and the velocity at far fields of the vortex ring and the geometry of the domains. We also discuss other qualitative and asymptotic properties of these vortices.

研究の動機と目的

• 3次元軸対称非圧縮Euler流れにおける渦巻きを伴う安定渦リングの正則化解を構成すること。
• ツルキントンの手法とは異なる、新しい変分的アプローチを用いて外部領域におけるコンパクトネスの問題を克服すること。
• 循環、遠方速度、および領域幾何学を用いて、特異的渦糸の漸近的位置を正確に特定すること。
• vorticity族の弱極限がL²において径方向非増加的関数であることを確立すること。

提案手法

• 修正済み方位角渦度ζ = ω^θ / rを用いて問題を定式化し、ストリーム関数ψに関する非線形楕円型方程式（Bragg-Hawthorne/Long-Squire方程式）を導出する。
• 運動エネルギー、渦巻きに起因するポテンシャルエネルギー、および渦度集中に対するペナルティ項を含む正則化エネルギー関数Eβ(ζ)を導入する。
• 全循環を固定した対称的かつ-compactlyなL∞(D)関数のクラス上での制約付き変分枠組みを採用する。
• Steiner対称化を用いて最小化子の径対称性を保証し、コンパクトネスおよび下半連続性を用いて最大化子ζβの存在を証明する。
• ラグランジュ乗数理論を適用し、ζβとストリーム関数ψβおよび乗数μβを結ぶオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• β → 0⁺における漸近的挙動を解析し、Wおよびr* = 1/(4πW)を用いてエネルギーおよび乗数の対数的スケーリングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの循環および遠方速度を伴う3次元Euler流れにおいて、2パラメータ族の正則化渦巻きを伴う渦リングをどのように構成できるか？
• RQ2 β → 0⁺の極限において、特異的渦糸の漸近的位置は何かによって決定されるか？
• RQ3 正則化プロセスにおいて、エネルギーおよびラグランジュ乗数は正則化パラメータβに関してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 β → 0⁺におけるvorticity族{gβ}の弱極限は何か？また、どのような対称性を有するか？

主な発見

• β → 0⁺のとき、エネルギーEβ(ζβ)は(r*/(4π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1)としてスケーリングされ、ここでr* = 1/(4πW)である。
• ラグランジュ乗数μβは(r*/(2π) - W r*²/2) log(1/β) + O(1)としてスケーリングされ、ここでr* = 1/(4πW)である。
• 渦度支持の直径は、十分に小さいβに対してすべてのβについて、diam(supp(ζβ)) ≤ R₁βを満たすR₁ > 1が存在する。
• β → 0⁺のとき、ζβの支持から円Cr*までの漸近的距離は0に収束する。
• L²における{gβ}の任意の弱極限点は、径方向非増加的関数である。
• 渦度プロファイルζβはSteiner対称化に関して対称であり、半径r*の円上に集中する特異的極限に収束する。