[論文レビュー] Desingularization of vortices for 2D steady Euler flows via the vorticity method

Daomin Cao, Guodong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、vorticity法を用いて、ドメインのRobin関数またはKirchhoff-Routh関数の臨界点付近の小さな領域に渦度が集中する2次元定常Euler流を構成する。渦度の集中を解消するための解を、流れ関数に関する非線形楕円型方程式を解くことで証明し、渦核が縮小する極限において、エネルギーと循環が点渦モデルと漸近的に一致することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in a planar bounded domain in which the vorticity is sharply concentrated in a finite number of disjoint regions of small diameter. Such flows are closely related to the point vortex model and can be regarded as desingularization of point vortices. By an adaption of the vorticity method, we construct a family of steady Euler flows in which the vorticity is concentrated near a global minimum point of the Robin function of the domain, and the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function. Furthermore, for any given isolated minimum point $(\bar{x}_1,\cdot\cdot\cdot,\bar{x}_k)$ of the Kirchhoff-Routh function of the domain, we prove that there exists a family of steady Euler flows whose vorticity is supported in $k$ small regions near $\bar{x}_i$, and near each $\bar{x}_i$ the corresponding stream function satisfies a semilinear elliptic equation with a given profile function.

研究の動機と目的

• 点渦の解消化として機能する、小さな領域に渦度が鋭く集中する定常Euler流の構成。
• 渦核サイズが0に近づく際のそのような流れの極限的挙動の分析。
• Kirchhoff-Routh関数の孤立した極小点の周囲に渦度が集中する定常解の存在を確立すること。
• 渦核サイズが0に近づく極限における流れ関数および渦度の漸近的プロファイルの特定。
• 解消済み渦のエネルギーおよび循環を、古典的点渦モデルと厳密に結びつけること。

提案手法

• 指定された点の周囲の小さな球内に compact な渦度を持つ解を構成するために、vorticity法を適応する。
• スケーリングされた流れ関数 $ \Psi_i^\varepsilon(y) = \psi_i^\varepsilon(x_i^\varepsilon + \varepsilon y) $ を用いて、$ \varepsilon \to 0 $ の極限を分析する。
• スケーリングされた領域において、非線形楕円型方程式 $ -\Delta \Psi_i^\varepsilon = f_i(\Psi_i^\varepsilon) \chi_{B_{r_0}(\bar{x}_i)} + \text{低次の項} $ を解く。
• 循環強度を一致させるために、制約 $ \int_{D_i^\varepsilon} f_i(\Psi_i^\varepsilon) dx = |\kappa_i| $ を課す。
• 渦度プロファイルが $ \varepsilon \to 0 $ のとき $ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 内で $ f_i(U^{|\kappa_i|}) $ に弱*収束することを確立する。
• エネルギーの漸近的展開 $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ を用いて、特異的挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドメインのRobin関数のグローバル最小付近に、渦度が集中するような定常2次元Euler流を構成できるか？
• RQ2 このような解の流れ関数は、渦核サイズが0に近づく極限において、所定のプロファイル関数を持つ非線形楕円型方程式を満たすか？
• RQ3 Kirchhoff-Routh関数の与えられた孤立した極小点の集合に対して、各点の周囲に渦度が集中するような定常Euler流の族を構成できるか？
• RQ4 渦核が0サイズに収縮する際、これらの解消済み渦のエネルギーおよび循環の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 極限における渦度プロファイルは、固定質量 $ |\kappa_i| $ を持つ楕円型方程式 $ -\Delta U^{|\kappa_i|} = f_i(U^{|\kappa_i|}) $ の径対称解とどのように関係するか？

主な発見

• Robin関数のグローバル最小付近に渦度が集中する定常Euler流の族が構成され、流れ関数について与えられたプロファイルを持つ非線形楕円型方程式を満たす。
• Kirchhoff-Routh関数の任意の孤立した極小点 $ \bar{x}_i $ に対して、$ \bar{x}_i $ の周囲の小さな球内に渦度が台を持つ定常Euler流が存在し、対応する流れ関数は同じプロファイル方程式を満たす。
• スケーリングされた流れ関数 $ \Psi_i^\varepsilon $ は、$ \varepsilon \to 0 $ のとき $ \mathbb{R}^2 $ 上の局所的 $ C^{1,\alpha} $ で、極限楕円型問題の径対称解 $ U^{|\kappa_i|} $ に収束する。
• 渦度プロファイル $ \zeta_i^\varepsilon $ は、$ L^\infty(\mathbb{R}^2) $ 内で弱*収束し、$ f_i(U^{|\kappa_i|}) $ に収束することを確認し、極限におけるプロファイル構造を裏付ける。
• 流れのエネルギーは $ \mathcal{E}(\omega^\varepsilon) = \sum_{i=1}^k \frac{\kappa_i^2}{4\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ を満たし、点渦モデルの対数的発散と一致する。
• 循環 $ \mu_i^\varepsilon = \frac{|\kappa_i|}{2\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} + O(1) $ は、特異極限における古典的点渦力学と整合的であることを確認する。