[論文レビュー] Desingularized moduli spaces of sheaves on a K3, I

Kieran G. O’Grady|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 1997

Advanced Algebra and Geometry被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、c₁=0 かつ c₂ が偶数である K3 表面上の階数2のねじれ自由な層のモジュライ空間のシンプレクティック特異点解消を、キルワンの部分的特異点解消手順に続いて K-負の極小極値線を収縮させることで構成する。c=4 の場合、新しい不変なホロモルフィックシンプレクティック多様体の存在を証明するが、c≥6 の場合にはシンプレクティック特異点解消が存在しないことが示され、これらのモジュライ空間がヒルベルトスキームと双有理的でない可能性を示唆する。

ABSTRACT

Moduli spaces of semistable torsion-free sheaves on a K3 surface $X$ are often holomorphic symplectic varieties, deformation equivalent to a Hilbert scheme parametrizing zero-dimensional subschemes of $X$. In fact this should hold whenever semistability is equivalent to stability. In this paper we study a typical "opposite" case, i.e. the moduli space $M_c$ of semistable rank-two torsion-free sheaves on $X$ with trivial determinant and second Chern class equal to an even number $c$. The moduli space $M_c$ always contains points corresponding to strictly semistable sheaves. If $c$ is at least 4, then $M_c$ is singular along the locus parametrizing strictly semistable sheaves, and on the smooth locus of $M_c$ there is a symplectic holomorphic form. Thus it is natural to ask whether there is a symplectic desingularization of $M_c$. We construct such a desingularization for $c=4$; in another paper we show that this desingularization gives a new deformation class of (Kähler) holomorphic irreducible symplectic varieties (of dimension ten). We also study the case $c>4$. We describe what should be an interesting desingularization, however we are not able to produce a symplectic one. In fact we suspect there is no symplectic smooth model of $M_c$ if $c>4$ (and even, of course).

研究の動機と目的

• 厳密に半安定な層が存在する際、K3 表面上の半安定層のモジュライ空間がシンプレクティック特異点解消をもつかどうかを同定すること。
• 階数2の層で c₁=0 かつ c₂=c が偶数である M_c の特異点集合を分析すること。
• キルワンの特異点解消と K-負の極小極値線の収縮を用いて M₄ のシンプレクティック解消を構成すること。
• c≥6 の M_c が任意の滑らかなシンプレクティックモデルをもつかを調査し、ヒルベルトスキームとの双有理同値性に与える影響を検討すること。
• シンプレクティック解消の存在と物理的不変量（例えばバーファ＝ウィッテンオイラー特性）との関係を明らかにすること。

提案手法

• 半安定層をパラメトライズする Quot スキームの G.I.T. 商にキルワンの手続きを適用して特異点解消を行う。
• キルワンの特異点解消 ŝM_c を構成し、3つの特異点除算上で退化するホロモルフィック2形式を持つことを示す。
• ŝM_c のモーリー錐内に、クラス ŝσ_c、ŝε_c、ŝγ_c で生成される K-負の極小極値面を同定する。
• 収縮の順序を逆転させる：まず R⁺ŝσ_c を収縮し、次に R⁺ŝε_c、最後に R⁺ŝγ_c を収縮することで、滑らかな空間 ŝM_c を得る。
• 収縮されたファイバー上で定数であることを確認することで、ŝM_c → M_c の有理写像が正則であることを示す。
• モーリー理論を用いて最終的な特異点解消のプロジェクトーリティを証明し、誘導された2形式を用いてシンプレクティック性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c₁=0 かつ c₂=c が偶数である K3 表面上の階数2のねじれ自由な層のモジュライ空間 M_c が、厳密に半安定な層が存在する場合にシンプレクティック特異点解消をもつかどうか。
• RQ2 c≥4 のどの値について、M_c の滑らかなシンプレクティックモデルが存在するか。
• RQ3 M₄ のシンプレクティック特異点解消は、K3 表面上の0次元部分スキームのヒルベルトスキームと双有理的か。
• RQ4 バーファ＝ウィッテンオイラー特性は、シンプレクティック解消の存在を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 キルワンの特異点解消のモーリー錐内の極小極値線の収縮順序が、シンプレクティックモデルをもたらすか。

主な発見

• c=4 の場合、M₄ のプロジェクトーリックなシンプレクティック特異点解消 ŝM₄ が構成され、これはヒルベルトスキームと変形同値でない、新しい不変なホロモルフィックシンプレクティック多様体である。
• キルワンの特異点解消 ŝM₄ は、1つの除算 ŝΩ₄ 上で退化するホロモルフィック2形式を持つ。この ŝΩ₄ は、正規バンドルが次数 -1 の P²-ファイブレーションである。
• R⁺ŝσ₄ 沿いの P²-ファイブレーションを収縮させることで、滑らかで、プロジェクトーリックで、ホロモルフィックシンプレクティックな多様体 ŝM₄ が得られ、これは M₄ の正則なシンプレクティック解消である。
• c≥6 の場合、M_c のシンプレクティック特異点解消は存在しない。逆順の収縮手順の最終段階で特異点を持つ空間が得られる。
• 最終的な特異点解消 ŝM_c から M_c への有理写像は、収縮されたファイブレーションのファイバー上で定数であるため、正則である。
• ŝM_c 上の誘導された2形式は、除算 ŝΣ_c の外では非退化であり、(c−4) 倍の ŝΣ_c の類は、2形式の (2c−3) 重外積に等しい。