[論文レビュー] Desingularizing $b^m$-symplectic structures

Victor Guillemin, Eva Miranda+1 more|QRU Quaderns de Recerca en Urbanisme|Dec 16, 2015

Fuzzy and Soft Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\epsilon \to 0$ の際に元の $b^m$-symplectic 構造に収束する、$b^m$-symplectic多様体上のシンプレクティック形式または折りたたみシンプレクティック形式 $\omega_\epsilon$ の族を構成する特異性除去手続きを導入する。$m$ が偶数の場合、この族はシンプレクティック形式からなる。$m$ が奇数の場合、折りたたみシンプレクティック形式からなる。主な結果は、この構成により、$b^m$-symplectic不変量（例えば、作用量多面体やデュイステルマット＝ヘッカマン測度）を、極限においてよく知られたシンプレクティック不変量に結びつけることで、グローバルに解釈可能になることである。

ABSTRACT

A $2n$-dimensional Poisson manifold $(M ,Π)$ is said to be $b^m$-symplectic if it is symplectic on the complement of a hypersurface $Z$ and has a simple Darboux canonical form at points of $Z$ which we will describe below. In this paper we will discuss a desingularization procedure which, for $m$ even, converts $Π$ into a family of symplectic forms $ω_ε$ having the property that $ω_ε$ is equal to the $b^m$-symplectic form dual to $Π$ outside an $ε$-neighborhood of $Z$ and, in addition, converges to this form as $ε$ tends to zero in a sense that will be made precise in the theorem below. We will then use this construction to show that a number of somewhat mysterious properties of $b^m$-manifolds can be more clearly understood by viewing them as limits of analogous properties of the $ω_ε$'s. We will also prove versions of these results for $m$ odd; however, in the odd case the family $ω_ε$ has to be replaced by a family of folded symplectic forms.

研究の動機と目的

• $b^m$-symplectic 不変量（例えばシンプレクティック体積やデュイステルマット＝ヘッカマン測度）における無限大の問題を、極限的シンプレクティック枠組みを構築することで解決すること。
• 特異性除去プロセスを通じて、$b^m$-symplectic 構造とシンプレクティック形式または折りたたみシンプレクティック形式との間のグローバル双対性を確立すること。
• 古典的シンプレクティック定理（例えば凸性定理やデュイステルマット＝ヘッカマンの定理）を、特異性除去の極限を用いて $b^m$-symplectic 多様体へと拡張すること。
• $m$ が偶数のとき、真のシンプレクティック構造を有することが示されることにより、$b^m$-symplectic 多様体のトポロジカル制約を明確にすること。

提案手法

• 臨界超曲面 $Z$ の $\epsilon$-近傍以外の領域で、元の $b^m$-symplectic 形式 $\omega$ と一致する、多様体 $M$ 上の1パラメータ族のシンプレクティック形式 $\omega_\epsilon$ を構成する。
• $m$ が偶数の場合、$C^{2k-1}$-滑らかさを持つカットオフ構成を用いて $\omega_\epsilon$ を定義し、$\epsilon \to 0$ の際に逆シンプレクティックテンソル場 $(\omega_\epsilon)^{-1}$ が $C^{2k-1}$-位相で $\omega^{-1}$ に収束することを保証する。
• $m$ が奇数の場合、$Z$ の $\epsilon$-近傍以外の領域で $\omega$ と一致する折りたたみシンプレクティック形式 $\omega_\epsilon$ の族を、折りたたみ構造を保つ正則化手法を用いて構成する。
• 特異性除去された形式を活用し、$b^m$-symplectic 不変量をシンプレクティック不変量の極限として再解釈することで、体積や測度の計算における発散を回避する。
• 特異性除去されたシンプレクティック形式 $\omega_\epsilon$ にアティヤ＝ギルマン＝シュテルンベルクの凸性定理を適用し、$\omega_\epsilon$ の作用量多面体が $b^m$-symplectic 構造の作用量マップ像に収束することを導出する。
• 例えば $f_\epsilon(\lambda) = \left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2k-1} + \frac{2}{\lambda}$ のような、特異性除去された作用量マップ成分の明示的表現を用いて、$\epsilon \to 0$ の極限における作用量多面体の挙動を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $b^m$-symplectic 不変量（例えばシンプレクティック体積やデュイステルマット＝ヘッカマン測度）は、極限的シンプレクティック枠組みを用いて再解釈可能であり、発散を解消できるか？
• RQ2 任意の $b^{2k}$-symplectic 多様体は真のシンプレクティック構造を有するか？ もしそうならば、これはトポロジカル制約とどのように関係するか？
• RQ3 古典的シンプレクティック定理（凸性やデュイステルマット＝ヘッカマンの定理）は、特異性除去を用いて $b^m$-symplectic 多様体へと拡張可能か？
• RQ4 $b^m$-symplectic 多様体の作用量多面体は、特異性除去されたシンプレクティックまたは折りたたみシンプレクティック形式のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 $\epsilon \to 0$ の際に、臨界超曲面 $Z$ 近傍における特異性除去形式 $\omega_\epsilon$ の正確な挙動は何か？ そして、これにより関連する幾何的構造の収束にどのような影響を与えるか？

主な発見

• $m$ が偶数の場合、シンプレクティック形式族 $\omega_\epsilon$ は $C^{2k-1}$-位相で元の $b^m$-symplectic 形式 $\omega$ に収束し、これにより関連する双ベクトル場の滑らかな収束が保証される。
• $m$ が奇数の場合、折りたたみシンプレクティック形式族 $\omega_\epsilon$ は、$b^m$-symplectic 構造のグローバルな正則化を提供し、極限においても折りたたみ構造が保たれる。
• 特異性除去された形式 $\omega_\epsilon$ の作用量多面体は、$b^m$-symplectic 構造の作用量多面体に収束し、トーラス作用のモジュラー重みに応じて異なる挙動を示す。
• 特異性除去プロセスにより、$b^m$-symplectic 多様体上のデュイステルマット＝ヘッカマン測度が、シンプレクティックまたは折りたたみシンプレクティック多様体上の測度の極限として理解可能になり、元の定式化における無限大の問題を回避できる。
• 任意の $b^{2k}$-symplectic 多様体は真のシンプレクティック構造を有する。これは、すべてのシンプレクティック構造に対するトポロジカル障害が、$b^{2k}$-symplectic 多様体に対しても同様に適用されることを意味する。
• $b^{2k+1}$-symplectic 構造の存在は、特異性除去構成と、$M \times \mathbb{C}$ 上のほぼ複素構造と折りたたみシンプレクティック形式との同倣関係を介して、折りたたみシンプレクティック構造の存在を示唆する。