[論文レビュー] Detailed balance and split property in quantum spin chain

Anilesh Mohari|arXiv (Cornell University)|May 11, 2005

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、SU(2)対称性と詳細つり合いを満たす並進不変な量子スピン鎖系において、純粋な基底状態が格子空間相関関数を指数関数的に減衰させることを確立している。このような状態が基底状態が一意である場合には分裂していることを証明し、量子詳細つり合いと混合性および構造的安定性の間の関係を示している。

ABSTRACT

In this exposition we investigate further the general methodology proposed in [Mo2] to study properties of the ground states of a translation invariant Hamiltonian for one lattice dimensional quantum spin chain A = ⊗ ZMd, where Md is the matrix of d × d complex matrices. We introduce a notion of quantum detailed balance [Mo1] for a translation invariant state on A and prove that such a pure state is uniformly mixing [BR,Ma2] if and only if the lattice space correlation functions decay exponentially. Furthermore we also prove that a pure lattice symmetric, translation and SU(2) gauge invariant state give rise to a canonical Popescu systems acting on a finite dimensional Hilbert space and thus the lattice space correlation functions of the pure state decay exponentially. As a consequence of these results we conclude that if the ground states for an integer spin SU(2) invariant (2s + 1 = d) detailed balanced Hamiltonian is unique then the state is split. In particular if the ground state for integer

研究の動機と目的

• 並進不変な量子スピン鎖系の基底状態の混合性および相関関数減衰性を決定づける量子詳細つり合いの役割を調査すること。
• 純粋で対称的かつ並進不変であり、SU(2)ゲージ不変な状態と、有限次元ヒルベルト空間上での標準的ポペスク系の存在との間の関係を確立すること。
• 整数スピンのSU(2)不変ハミルトニアンで詳細つり合いを満たす一意な基底状態が分裂していることを証明することにより、構造的安定性を示すこと。
• [Mo2]の一般枠組みを詳細つり合いを含む形に拡張し、相関関数減衰および混合性への影響を明らかにすること。

提案手法

• 代数 A = ⊗_Z Md (ここで Md は d×d 複素行列の代数) 上の並進不変状態に対する量子詳細つり合いの概念を導入する。
• [Mo2]の枠組みを用いて、1次元量子スピン鎖系における並進不変ハミルトニアンの基底状態を分析する。
• 有限次元ヒルベルト空間上に標準的ポペスク系が存在することを用いて、格子空間相関関数の指数的減衰を導出する。
• 純粋な状態が詳細つり合いを満たす場合、一様混合性と相関関数の指数的減衰が同値であることを確立する。
• SU(2)ゲージ不変性と格子対称性を用いて、基底状態およびその相関関数の構造を制約する。
• 詳細つり合い、基底状態の一意性、指数的相関関数減衰の組み合わせから分裂性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子詳細つり合いは、並進不変な量子スピン鎖系の純粋な基底状態において、格子空間相関関数の指数的減衰を示唆するか？
• RQ2 量子スピン鎖系上に存在する純粋で対称的かつ並進不変であり、SU(2)ゲージ不変な状態は、有限次元ヒルベルト空間上に標準的ポペスク系を生じるか？
• RQ3 整数スピンのSU(2)不変ハミルトニアンの基底状態が一意である場合、どのような条件下で分裂性を満たすか？
• RQ4 詳細つり合いは量子スピン鎖系における一様混合性とどのように関係するか？
• RQ5 詳細つり合い、一意性、SU(2)対称性が同時に満たされた場合、基底状態にどのような構造的帰結が生じるか？

主な発見

• 純粋で並進不変な状態が量子詳細つり合いを満たすとき、その状態が一様混合であるための必要十分条件は、格子空間相関関数が指数関数的に減衰することである。
• 純粋で対称的かつ並進不変であり、SU(2)ゲージ不変な状態は、有限次元ヒルベルト空間上に標準的ポペスク系を生じる。
• ポペスク系の存在により、このような状態では格子空間相関関数の指数的減衰が保証される。
• 整数スピンのSU(2)不変ハミルトニアンの基底状態が一意で詳細つり合いを満たすならば、その状態は分裂している。
• 分裂性は、詳細つり合い、基底状態の一意性、指数的相関関数減衰の組み合わせから導かれる。
• 本研究の結果は、量子詳細つり合い、相関関数減衰、分裂性の間の構造的関係を、量子スピン鎖系において確立している。