[論文レビュー] Detailed thermostatistical analysis of a finite canonical system: The particle-booster model

Artur B. Adib|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、粒子加速器モデルにおける有限系の統計力学的取り扱いを再評価し、Fokker-Planck形式による温度が、正確に等分配則温度に一致することを示している。また、正しい熱力学的温度は、dS/dE = 1/T によって定まる S = k log(Φ(E)) によって支配されることを示しており、解析的および数値的結果を用いて、N~10 の四次振動子鎖に対して正確に導出された。動的補正は、解析された系では不要であることが明らかになった。

ABSTRACT

In an attempt to derive thermodynamics from classical mechanics, an approximate expression for the equilibrium temperature of a finite system has been derived [M. Bianucci, R. Mannella, B. J. West, and P. Grigolini, Phys. Rev. E 51, 3002 (1995)] which differs from the one that follows from the Boltzmann principle S = k log (Omega(E)) via the thermodynamic relation 1/T= dS/dE by additional terms of character, which are argued to correct and generalize the Boltzmann principle for small systems (here Omega(E) is the area of the constant-energy surface). In the present work, the underlying definition of temperature in the Fokker-Planck formalism of Bianucci et al. is investigated and shown to coincide with an approximate form of the equipartition temperature. Its exact form, however, is strictly related to the entropy S = k log (Phi(E)) via the thermodynamic relation above for systems of any number of degrees of freedom (Phi(E) is the phase space volume enclosed by the constant-energy surface). This observation explains and clarifies the numerical results of Bianucci et al. and shows that a dynamical correction for either the temperature or the entropy is unnecessary, at least within the class of systems considered by those authors. Explicit analytical and numerical results for a particle coupled to a small chain (N~10) of quartic oscillators are also provided to further illustrate these facts.

研究の動機と目的

• 従来のボルツマンエントロピー S = k log(Ω(E)) が正確に適用できない有限系における熱力学的温度の定義を明確化すること。
• Bianucci らの前回の研究で使用された Fokker-Planck 形式における温度式の起源と妥当性を調査すること。
• 正しい熱力学的温度は、dS/dE = 1/T を通じて、表面積 Ω(E) ではなく位相空間体積 Φ(E) から得られることを示すこと。
• 過去の数値結果に見られる顕在的な矛盾を、小規模系へのボルツマン原理の誤った適用に起因することを示し、その解消を図ること。
• 粒子と結合した有限系 N~10 の四次振動子系に対して、明示的な解析的および数値的妥当性を提供すること。

提案手法

• Φ(E) をエネルギー一定面で囲まれる位相空間体積とする S = k log(Φ(E)) から温度を解析的に導出する。
• この正確な温度定義を、近似的な等分配則温度およびボルツマンエントロピー S = k log(Ω(E)) から得られる温度と比較する。
• Fokker-Planck形式を動的枠組みとして用い、その温度が等分配則形式と整合することを示す。
• N≈10 の四次振動子鎖に結合する粒子に対して明示的な計算を実施し、理論的予測の妥当性を検証する。
• 位相空間体積 Φ(E) 及びその微分を数値的に評価し、正確な熱力学的温度を計算する。
• 得られた温度をボルツマン原理によるものと比較し、小規模系では Φ(E) を Ω(E) の代わりに使用する必要があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ粒子加速器モデルにおいて S = k log(Ω(E)) を用いると、標準的ボルツマン温度からずれる数値結果が得られるのか？
• RQ2 自由度が少ない有限系における正しい熱力学的温度の定義は何か？
• RQ3 Fokker-Planck形式から得られる温度は、等分配則温度および S = k log(Φ(E)) のエントロピーとどのように関係しているか？
• RQ4 小規模系では温度またはエントロピーに対する動的補正が必要か、それとも標準的熱力学的関係 dS/dE = 1/T を直接適用できるか？
• RQ5 N~10 の振動子鎖において、Φ(E) と Ω(E) を用いたエントロピーおよびそれに伴う温度の定量的差異は何か？

主な発見

• Fokker-Planck形式から得られる温度は、正確に等分配則温度に一致しており、ボルツマンに基づく温度とは一致しない。
• 任意の自由度数の系において、正しい熱力学的温度は、S = k log(Φ(E)) から得られる dS/dE = 1/T によって与えられ、S = k log(Ω(E)) ではない。
• Bianucci らの過去の数値結果における乖離は、Ω(E) を Φ(E) の代わりに使用したことによるものであり、ボルツマン原理の失敗によるものではない。
• 正しくエントロピー定義 S = k log(Φ(E)) を用いる限り、解析された系では温度またはエントロピーに対する動的補正は不要である。
• 粒子が N≈10 の四次振動子鎖に結合する系に対して、明示的な解析的および数値的結果が得られ、S = k log(Φ(E)) から得られる温度は、Fokker-Planck手法による動的温度と一致することが確認された。
• 有限系では、表面積 Ω(E) よりも位相空間体積 Φ(E) が物理的に関係する量であることが示され、小規模な N に対しても同様である。